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die positive Zahl h Element ℝ sei bestimmt durch das Verhältnis 1/h = h/(1-h)

x0 = 1 und xn+1 = 1 + (1 / (xn)). Konvergiert die Folge xn in ℝ?
Wenn ja, welchen Grenzwert hat Sie?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!

Gruß

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Was hat das h mit der Folge zu tun? 

Ich weiss nur, dass diese Zahl die goldene Zahl darstellen soll.
Ansonsten habe ich alles genauso abgeschrieben wie es auf dem Aufgabenblatt steht.
Vielleicht soll das Verhältnis die Folge sein?

\(h^{-1}\) ist die goldene Zahl und der Grenzwert der Folge \(x_n\).

Edit: Exponenten vergessen.

1 Antwort

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Hi,
wenn die Folge $$ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $$ überhaupt konvergiert, dann muss wegen \( \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} x_{n} = x \) auch \( x = 1 + \frac{1}{x} \) gelten und die Lösung ist \( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Da der Startwert positiv ist und die Folge auch positiv bleibt, ist der einzig mögliche Grenzwert \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
Um zu zeigen, das die Folge konvergiert, nehmen wir den Banachschen Fixpunkt Satz zur Hilfe. Die Iteration kann man schreiben als \( x_{n+1} = f(x_n) \) mit \( f(x) = 1 + \frac{1}{x}\ \)
Es gilt \( \left| f'(x) \right| = \frac{1}{x^2} < 1 \). Damit konvergiert die Folge, aber nicht gegen \( h \). Denn die Lösung von \( \frac{1}{h} = \frac{h}{1-h} \) ist \( h = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)

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