Konvergenz und Grenzwert bestimmen: x0 = 1 und xn+1 = 1 + (1 / (xn)).

Question

die positive Zahl h Element ℝ sei bestimmt durch das Verhältnis 1/h = h/(1-h)

x₀ = 1 und x_n+1 = 1 + (1 / (x_n)). Konvergiert die Folge x_n in ℝ?
Wenn ja, welchen Grenzwert hat Sie?

Vielen Dank für Hilfe im Voraus!

Gruß

Comments

Was hat das h mit der Folge zu tun?

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Ich weiss nur, dass diese Zahl die goldene Zahl darstellen soll.
Ansonsten habe ich alles genauso abgeschrieben wie es auf dem Aufgabenblatt steht.

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Vielleicht soll das Verhältnis die Folge sein?

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\(h^{-1}\) ist die goldene Zahl und der Grenzwert der Folge \(x_n\).

Edit: Exponenten vergessen.

Answer 1

Hi,
wenn die Folge $$ x_{n+1} = 1 + \frac{1}{x_n} $$ überhaupt konvergiert, dann muss wegen \( \lim_{n\to\infty} x_{n+1} = \lim_{n\to\infty} x_{n} = x \) auch \( x = 1 + \frac{1}{x} \) gelten und die Lösung ist \( \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \). Da der Startwert positiv ist und die Folge auch positiv bleibt, ist der einzig mögliche Grenzwert \( \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \)
Um zu zeigen, das die Folge konvergiert, nehmen wir den Banachschen Fixpunkt Satz zur Hilfe. Die Iteration kann man schreiben als \( x_{n+1} = f(x_n) \) mit \( f(x) = 1 + \frac{1}{x}\ \)
Es gilt \( \left| f'(x) \right| = \frac{1}{x^2} < 1 \). Damit konvergiert die Folge, aber nicht gegen \( h \). Denn die Lösung von \( \frac{1}{h} = \frac{h}{1-h} \) ist \( h = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \)