Wie stelle ich die Normalengleichung der Ebene auf?

Question

Es sind die Punkte A(0,-2,0), B(3,1,1), C(1,2,1) und D(1,1,3) gegeben.

c) Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene E, die durch die Punkte B, C und D geht.

d) Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g, die auf der Ebene E senkrecht steht und durch den Punkt A geht.

Wie stelle ich die Gleichungen auf?

Answer 1

Aloha :)

Die Punkte \(B(3|1|1)\), \(C(1|2|1)\) und \(D(1|1|3)\) liegen in einer Ebene. Die Ebenengleichung lautet in Parameterform:$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1-3\\2-1\\1-1\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}1-3\\1-1\\3-1\end{array}\right)$$$$E:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\0\\2\end{array}\right)$$Die Normalengleichung findest du mit Hilfe des Vektorproduktes der beiden Richtungsvektoren:$$\vec n=\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-2\\0\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2-0\\0-(-4)\\0-(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\4\\2\end{array}\right)\propto\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$$Da nicht die Länge des Normalenvektors entscheidend ist, sondern nur seine Richtung, habe ich ihn halbiert, um einfachere Zahlen zu bekommen.$$E:\;\vec n\cdot\vec x=\vec n\cdot\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3\\1\\1\end{array}\right)=3+2+1=6$$$$E:\;x+2y+z=6$$

Von der Geraden \(g\), die auf \(E\) senkrecht steht, kennen wir schon den Richtungsvektor, nämlich den Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene. Diese Gerade muss durch den Punkt \(A(0|-2|0)\) laufen. Also können wir \(g\) hinschreiben:$$g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}0\\-2\\0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right)$$

Comments

Super erklärt, hast mir sehr weitergeholfen! Vielen Dank:)

Answer 2

Hallo

 a) allgemeine Normalengleichung mit a,b,c hinschreiben, die Punkte einsetzen, 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten lösen.

b) da du die Normaleform hast kennst du den Richtungsvektor der Geraden und einen Punkt

Gruß lul