Hallo,
der Normalenvektor n steht senkrecht auf den beiden Spannvektoren u und v der Ebene und wird über das Skalarprodukt berechnet.
\(\vec{n}\circ \vec{u}=0\\ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} -2\\1\\2 \end{pmatrix}=0\\ -2n_1+n_2+2n_3=0\\[10pt] \vec{n}\circ \vec{v}=0\\ \begin{pmatrix} n_1\\n_2\\n_3 \end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix}\\ n_1-n_2=0\)
Beide Gleichungen addieren:
\(-n_1+2n_3=0\Rightarrow n_1=2n_3\)
Setze für \(n_1\) eine beliebige Zahl, hier 2, ein. Das ergibt
\(n_1=2\quad n_2=2\quad n_3=1\)
Normalenform einer Ebene:
\( E: \left(\begin{array}{l}n_{1} \\ n_{2} \\ n_{3}\end{array}\right)\circ\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3}\end{array}\right)\right)=0 \)
hier also
\( E: \left(\begin{array}{l}2\\ 2 \\ 1\end{array}\right)\circ\left(\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}4 \\ -1 \\ 6\end{array}\right)\right)=0 \)
Gruß, Silvia
