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Aufgabe:

Gegeben sind eine Gerade g durch einen Punkt A und den Richtungsvektor u sowie eine Ebene E durch eine Koordinatenform.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.

a) A (1/2/3) ; u= (1 2 3) ; E: x₁- 2x₂ -3x₃ =6

Es wäre lieb, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte, da ich leider selber nicht weiß wie ich die Aufgabe angehen soll.

                     

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Die Gerade lautet (123)+r(123)=(1+r2+2r3+3r) \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + r \\ 2 + 2r \\ 3 + 3r \end{pmatrix} Die letzten drei Komponenten in die Ebenengleichung einsetzten und nach r r auflösen und dann den Punkt aus der Geradengleichung ausrechnen und mit der Ebenengleichung kontrollieren.

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Setze g: (xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} =(123) \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} +k·(123) \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} in E: (xyz) \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} ·(123) \begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix} =6 ein und bestimme k. Setze dann k in g ein und finde so den Schnittpunkt.

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Aloha :)E :   x12x23x3=6;g :   x=(123)+s(123)=(1+s2+2s3+3s)E:\;x_1-2x_2-3x_3=6\quad;\quad g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+s\\2+2s\\3+3s\end{array}\right)Setze die Komponenten von gg in die Ebenengleichung EE ein, um ss zu berechen:

6=1+s=x12(2+2s)=x23(3+3s)=x3=1+s44s99s=1212s6=\underbrace{1+s}_{=x_1}-2\underbrace{(2+2s)}_{=x_2}-3\underbrace{(3+3s)}_{=x_3}=1+s-4-4s-9-9s=-12-12s12s=18s=1,5\Rightarrow\quad-12s=18\quad\Rightarrow\quad s=-1,5Der Schnittpunkt ist also S(0,511,5)S(-0,5|-1|-1,5).

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