Bestimmen Sie den Schnittpunkt von Gerade und Ebene- Normalenvektor

Question

Aufgabe:

Gegeben sind eine Gerade g durch einen Punkt A und den Richtungsvektor u sowie eine Ebene E durch eine Koordinatenform.

Bestimmen Sie den Schnittpunkt von Gerade und Ebene.

a) A (1/2/3) ; u= (1 2 3) ; E: x₁- 2x₂ -3x₃ =6

Es wäre lieb, wenn mir jemand bei der Aufgabe helfen könnte, da ich leider selber nicht weiß wie ich die Aufgabe angehen soll.

                     

Answer 1

Die Gerade lautet $$ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}   = \begin{pmatrix} 1 + r \\ 2 + 2r \\ 3 + 3r \end{pmatrix} $$ Die letzten drei Komponenten in die Ebenengleichung einsetzten und nach \( r \) auflösen und dann den Punkt aus der Geradengleichung ausrechnen und mit der Ebenengleichung kontrollieren.

Answer 2

Setze g: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) +k·\( \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \) in E: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\-3 \end{pmatrix} \) =6 ein und bestimme k. Setze dann k in g ein und finde so den Schnittpunkt.

Answer 3

Aloha :)$$E:\;x_1-2x_2-3x_3=6\quad;\quad g:\;\vec x=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+s\\2+2s\\3+3s\end{array}\right)$$Setze die Komponenten von \(g\) in die Ebenengleichung \(E\) ein, um \(s\) zu berechen:

$$6=\underbrace{1+s}_{=x_1}-2\underbrace{(2+2s)}_{=x_2}-3\underbrace{(3+3s)}_{=x_3}=1+s-4-4s-9-9s=-12-12s$$$$\Rightarrow\quad-12s=18\quad\Rightarrow\quad s=-1,5$$Der Schnittpunkt ist also \(S(-0,5|-1|-1,5)\).