Aloha :)
Führe folgende Spaltenoperationen durch:$$\left|\begin{array}{r}-S_5 & +S_5-S_4 & -S_4 & -S_3 & -S_1\\\hline-3-x & -1 & -2 & -2 & -1\\3 & -2-x & 2 & 1 & 2\\0 & 1 & -1-x & 1 & 0\\-1 & -1 & -2 & -4-x & -1\\2 & 1 & 3 & 3 & -x\end{array}\right|$$$$\left|\begin{array}{r}-2-x & 0 & 0 & 0 & 2+x\\1 & -1-x & 1 & -1 & -1\\0 & 0 & -2-x & 2+x & 0\\0 & 2+x & 2+x & -2-x & 0\\2+x & -2-x & 0 & 0 & -2-x\end{array}\right|$$Aus der 4-ten und 5-ten Spalte ziehen wir jeweils den Faktor (-1) vor die Determinante, was ihren Wert, wegen \((-1)\cdot(-1)=1\), nicht ändert:$$\left|\begin{array}{r}-2-x & 0 & 0 & 0 & -2-x\\1 & -1-x & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & -2-x & -2-x & 0\\0 & 2+x & 2+x & 2+x & 0\\2+x & -2-x & 0 & 0 & 2+x\end{array}\right|$$Die Determinante ist gleich Null, wenn sie zwei linear abhängige Reihen (Zeilen oder Spalten) hat. Für \(x=-2\) erhalten wir 5 identische Spalten:$$\left|\begin{array}{r}0 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right|$$Daher ist \(x=-2\) fünffacher Eigenwert der Matrix.
