Kurvenintegral (Integral einer Halbkugel)

Question

Aufgabe Kurvenintegral (Integral einer Halbkugel):

Man soll über s integrieren.

\( s: z(x|y)=\sqrt{v^2-x^2-y^2} \)

\( \int : \)
\( z(x \mid y)=\sqrt{v^{2}-x^{2}-r^{2}} \)
\( z(x) y)=\sqrt{9-x^{2}-y^{2}} \)

| v = 3

\( \frac{\partial}{\partial x}=\frac{-t}{\sqrt{-x^{2}-\gamma^{2}+9}} \frac{d}{\partial y} z=\frac{-y}{\sqrt{-y^{2}-x^{2}+9}} \)

\( \rightarrow \begin{pmatrix} \frac{-x}{ \sqrt{x^2-y^2+9} } \\ \frac{-y}{ \sqrt{-y^2-x^2+9} } \\ z \end{pmatrix} \)

\( \vec{F} \cdot f(x)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \)

\( \int \limits_{S} \vec{F} d x = \int \limits_{S} \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right) \cdot \begin{pmatrix} \frac{-x}{ \sqrt{x^2-y^2+9} } \\ \frac{-y}{ \sqrt{-y^2-x^2+9} } \\ z \end{pmatrix} ~ dx ~ dy = \frac{1}{3} \int \limits_{0}^{3} \int \limits_{0}^{3} \frac{x^2-y^2}{ \sqrt{x^2-y^2+9} } + z^2 ~dx dy \)

Comments

Wie wäre es, wenn du einfach mal schreibst, was du eigentlich machen möchtest.
Das Volumen einer Halbkugel ausrechnen? Oder dieses Vektorfeld F über die Halbkugel integrieren?

Das geht in Kugelkoordinaten auf jeden Fall erheblich einfacher.

Ich bin besonders deswegen verwirrt, weil du schreibst, du willst über eine Halbkugel integrieren, aber das was du da hinschreibst, sieht eher wie ein Kurvenintegral aus.

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Ja, es soll ein Kurvenintegral sein, bloß ich hab mich wahrscheinlich verwirren lassen, weil es mehr oder weniger eine Halbkugel ist wenn man es darstellt, sorry.

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Schreib doch bitte einfach mal die exakte Aufgabenstellung hin.
Was du da geschrieben hast sieht (für mich) an so vielen Ecken und Enden falsch aus, dass ich da nicht wirklich etwas draus gewinnen kann.

 

Was soll denn dieser Vektor (∂_x z, ∂_y z, z) darstellen?

Warum hast du als Grenzen für x und y 0 und 3 gewählt?
Damit bekommst du über z=√(9-x²-y²) nur eine Achtelkugel.

Außerdem, dadurch dass du über zwei Variablen integrierst, ist das kein Kurvenintegral, sondern ein Flächenintegral (was wieder zur Kugeloberfläche passen würde).

Und dann hast du dich zu guter letzt noch im letzten Schritt verrechnet, denn x*-x = -x².

 

Also, schreib am besten einfach die Aufgabenstellung hin, dann kann ich dir auch helfen. :-)

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Mit der exakten Aufgabenstellung ist das so eine Sache.

Ich soll auf der Fläche s integrieren. Mehr ist da nicht als Aufgabe.

Hoffe das hilft weiter.

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Aber was sollst du denn auf S integrieren?
Und was ist S?

Wo kommt die Aufgabe denn her?

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s: z(x|y)=sqrt(v^2-x^2-y^2)

 

Die Aufgabe ist aus der Schule, eine Übungsaufgabe

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Damit hast du mir immer noch nicht beantwortet, was überhaupt über s integriert werden soll.

Und die Grenzen von x und y sind ebenfalls noch unklar.

 

Es gibt zwei Möglichkeiten: entweder euer Buch/Übungsblatt oder was auch immer ist wahnsinnig unpräzise oder du sagst mir immer noch nicht alles, was du weißt.
So kann ich die Aufgabe aber nicht ausrechnen, weil ich leider keine magische Kristallkugel habe, die mir den Rest der Aufgabenstellung verrät :-)

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Schade, die magische Kristallkugel wäre jetzt praktisch. ;-)

Also sowas steht nicht einmal annährend in unserem Buch, das hat mir mein Lehrer gegeben für Vorbereitung auf Maxwell Gleichungen.

Und er hat gesagt da wo die Aufgabe jetzt steht soll ich zu Ende rechnen.

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Ah, ich hätte mich auch gewundert, wenn das Schulstoff wäre.

Naja, ich hoffe, du kannst meine Ausführungen in etwa verstehen, das was ich da gemacht hab lernt man so im zweiten Semester Physik, also ist es wirklich nicht besonders schlimm, wenn du irgendwas nicht verstehst.

Frag am besten einfach nach, ich habs jetzt mit den Erklärungen nicht sooo ausführlich gehalten, weil ich dachte, wenn du solche Aufgaben rechnest, verstehst du auch, was ich mache. Also wenn was unklar ist, ich helfe dir gern weiter.

Answer 1

Ich gehe jetzt mal davon aus, dass s eine Halbkugel in positiver z-Richtung ist und das Vektorfeld F über diese Halbkugel integriert werden muss.

Dann führt man erstmal zweckmäßige Koordinaten ein, das sind in diesem Fall Kugelkoordinaten.

\( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}r \cos (\phi) \sin (\theta) \\ r \sin (\phi) \sin (\theta) \\ r \cos (\theta)\end{array}\right) \)

Hierbei gilt:

r = 0..∞

phi = 0..2π

theta = 0..π

Das sind die Ortsvektoren des Raumes.

Jetzt muss die Fläche der Halbkugel parametrisiert werden, das geht natürlich auch am besten in Kugelkoordinaten:

\( \Psi(\theta, \phi)=\left(\begin{array}{c}3 \cos (\phi) \sin (\theta) \\ 3 \sin (\phi) \sin (\theta) \\ 3 \cos (\theta)\end{array}\right) \)

Hier läuft nun

phi = 0..2π

theta = 0..π/2

weil ja nur noch die halbe Kugel da sein soll.

Um das Vektorfeld über diese Oberfläche integrieren zu können, muss die folgende Formel verwendet werden:

\( \int \limits_{S} \vec{F}(\vec{x}) \overrightarrow{d A}=\int \limits_{0}^{2 \pi} \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \vec{F}(\Psi(\theta, \phi)) \cdot \partial_{\theta} \Psi \times \partial_{\phi} \Psi d \phi d \theta \)

Was also noch zu berechnen ist, sind die partiellen Ableitungen von Psi nach phi und theta und deren Kreuzprodukt.

\( \partial_{\theta} \Psi=\left(\begin{array}{c}3 \cos (\phi) \cos (\theta) \\ 3 \sin (\phi) \cos (\theta) \\ -3 \sin (\theta)\end{array}\right) \)
\( \partial_{\phi} \Psi=\left(\begin{array}{c}-3 \sin (\phi) \sin (\theta) \\ 3 \cos (\phi) \sin (\theta) \\ 0\end{array}\right) \)
\( \partial_{\theta} \Psi \times \partial_{\phi} \Psi=\left(\begin{array}{c}9 \sin ^{2}(\theta) \cos (\phi) \\ 9 \sin ^{2}(\theta) \sin (\phi) \\ 3 \sin (\theta) \cos (\theta)\end{array}\right) \)

Und jetzt kann man damit ins Integral reingehen:

\( \int \limits_{S} \vec{F}(\vec{x}) \overrightarrow{d A}=\int \limits_{0}^{\pi / 2} \int \limits_{0}^{2 \pi} \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}3 \cos (\phi) \sin (\theta) \\ 3 \sin (\phi) \sin (\theta) \\ 3 \cos (\theta)\end{array}\right) *\left(\begin{array}{c}9 \sin ^{2}(\theta) \cos (\phi) \\ 9 \sin ^{2}(\theta) \sin (\phi) \\ 3 \sin (\theta) \cos (\theta)\end{array}\right) d \theta d \phi \)
\( =\int \limits_{0}^{\pi / 2} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left(9 \cos ^{2}(\phi) \sin ^{3}(\theta)+9 \sin ^{2}(\phi) \sin ^{3}(\theta)+3 \sin (\theta) \cos ^{2}(\theta)\right) d \theta d \phi \)
\( =\int \limits_{0}^{\pi / 2} \int \limits_{0}^{2 \pi}\left(9 \sin ^{3}(\theta)+3 \sin (\theta) \cos ^{2}(\theta)\right) d \theta d \phi \)
\( =2 \pi \int \limits_{0}^{\pi / 2}\left(3 \sin (\theta)\left(3 \sin ^{2}(\theta)+\cos ^{2}(\theta)\right) d \theta\right. \)
\( =2 \pi \int \limits_{0}^{\pi / 2}\left(3 \sin (\theta)\left(2 \sin ^{2}(\theta)+1\right)\right) d \theta \)
\( =2 \pi \int \limits_{0}^{\pi / 2}\left(6 \sin ^{3}(\theta)+3 \sin (\theta)\right) d \theta \)
\( =14 \pi \)

Das letzte Integral ist ein bisschen knifflig. Man bekommt es hin, wenn man den Satz

sin³(x) = 1/4(3sin(x)-sin(3x))

verwendet.

Ob das ganze jetzt richtig ist, oder dir besonders viel hilft, weiß ich nicht.

Ich weiß auch nicht, auf was für einer Schule du bist, auf jeden Fall ist das eine relativ schwierige Aufgabe für den Schulstoff.

Comments

Darauf wäre ich nie gekommen, danke.