Umkehrfunktion ohne y aufstellen (Wurzelfunktion)

Question

Hallo nochmal,

ich hab eine kleine Frage zur Umkehrfunktion. Das ist die Aufgabe:

Untersuchen Sie für folgende Funktionen, ob die Umkehrfunktion existiert und geben Sie die
Umkehrfunktion f ⁻¹ mit Definitionsbereich an, falls sie existiert. Für injektive, aber nicht
surjektive Funktionen schränken Sie ggf. den Bildbereich auf den Wertebereich ein, um die
Umkehrfunktion zu bilden.

\( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \)
\( \quad x \quad \longmapsto-2 x+7 \)
\( f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R} \)
\( x \longmapsto \sqrt{x^{2}+1} \)

Ansatz:

Ich verstehe wie man an sich die Umkehrfunktion bilden kann, wenn man zum Beispiel y=-2x +7 hat. Aber in dem Fall fehlt ja das y. Ich denke mal man kann sich das nicht einfach dazudenken.

Die Umkehrfunktion für die erste Aufgabe hab ich gedacht ist dann x = 7/2. Und ich habe es auch nochmal in einem Online Rechner eingeben und da kommt tatsächlich 7/2 raus. Nur verstehe ich nicht warum man das einfach so machen darf.

Ich bin wie folgt vorgegangen:

Erstmal geprüft ob es injektiv ist mit:

f(x₁) = f(x₂)

-2x₁ +7 = -2x₂ +7

x₁ = x₂    

Ist also injektiv.

Und dann sollte man ja die Surjektivität prüfen in dem man nach x auflöst: Nur waren in den Beispielen im Skript davor immer nur von so Gleichungen wie z.B. y= 5x -3 die Rede. Also mit y. Das verwirrt mich irgendwie.

Da jetzt der Online Rechner 7/2 ausgab hab ich gedacht man müsste bei solchen Aufgaben wo das y fehlt, die Gleichung einfach 0 setzen. Weil so kam ich dann auf das Ergebnis.

Aber dann wäre die Funktion nicht surjektiv oder?

Bei mir wäre die Umkehrfunktion:

f^-1: ℝ→ℝ

x= 7/2

Und bei der zweiten Aufgabe bin ich genauso vorgegangen. Bei mir kam dann auch raus, dass es injektiv ist.

Nur bei der Surjektivität:

\( \sqrt{x^{2}+1} \) = 0

x² +1 = 0

x² = -1

Geht das ja dann nicht mit der Wurzel. In der Aufgabe stand ja, dass man ggf. den Bildbereich auf den Wertebereich einschränken soll. Ich verstehe nicht ganz was damit gemeint ist/ wie man das aufschreiben kann.

Ich hab jetzt einfach (was ich denke aber falsch ist).

\( \sqrt{x^{2}+1} \) = 1

Sodass am Ende: x² = 0 rauskommt.

Zusammengefasst: Mich verwirrt stark, dass das y nicht anwesend ist. ^^

Gruß

~naili

Answer 1

Aloha :)

1) Wir betrachten: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto-2x+7\)

a) Injektivität prüfen

Injektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Wir nehmen daher an, ein Zielwert würde 2-mal erreicht und prüfen, ob dies zwangsläufig auf dasselbe Argument führt:$$f(a)=f(b)\;\Rightarrow\;-2a+7=-2b+7\;\Rightarrow\;-2a=-2b\;\Rightarrow\;a=b\quad\checkmark$$

b) Surjektivität prüfen

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestes 1-mal erreicht wird. Wir wählen daher ein beliebiges Element \(y\in\mathbb{R}\) aus der Zielmenge und prüfen, ob es ein passendes Argument \(x\) aus der Definitionsmenge \(\mathbb{R}\) gibt, das darauf abbildet:$$y=-2x+7\;\Rightarrow\;y-7=-2x\;\Rightarrow\;x=-\frac{y-7}{2}\in\mathbb{R}\quad\checkmark$$

c) Umkehrfunktion bilden

Die Umkehrfunktion \(f^{-1}(x)\) exisitert, weil \(f\) bijektiv (=surjektiv und injektiv) ist. Beim Beweis der Surjektivität haben wir die Umkehrfunktion quasi schon berechnet. Wir müssen nur noch \(y\) und \(x\) vertauschen:$$y=-\frac{x-7}{2}\quad\Rightarrow\quad f^{-1}:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\,x\mapsto-\frac{x-7}{2}$$

2) Wir betrachten: \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;x\mapsto\sqrt{x^2+1}\)

a) Injektivität prüfen$$f(a)=f(b)\;\Rightarrow\;\sqrt{a^2+1}=\sqrt{b^2+1}\;\Rightarrow\;a^2+1=b^2+1$$$$\Rightarrow\;a^2=b^2\;\Rightarrow\;a=\pm b$$Die Funktion ist nicht injektiv. Wir können jedoch Injektivität herstellen, indem wir fordern, dass der Definitionsbereich \(D=R^{\le0}\) oder \(D=R^{\ge0}\) ist.

b) Surjektiviät prüfen$$y=\sqrt{x^2+1}\;\Rightarrow\;y^2=x^2+1\;\Rightarrow\;x^2=y^2-1\;\Rightarrow\;x=\pm\sqrt{y^2-1}$$Die Funktion ist nicht surjektiv, weil es z.B. für das Element \(0\) aus der Zielmenge kein passendes Argument aus der Definitionsmenge gibt. Die Surjektivität lässt sich herstellen, indem die Zielmenge bzw. Wertemenge eingeschränkt wird auf \(W=\mathbb{R^{\le-1}}\) oder \(W=\mathbb{R^{\ge1}}\).

c) Umkehrfunktion bilden

Nach Aufgabenstellung ist hier eigentlich nichts mehr zu tun. Wir sollen nur für injektive, aber nicht surjektive Funktionen den Definitionsbereich einschränken und die Umkehrfunktion bestimmen. Die betrachtete Funktion ist jedoch nicht injektiv. Um keinen Ärger zu riskieren, schränken wir sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich so ein, dass die Funktion bijektiv wird:$$f:\mathbb{R^{\ge0}}\to\mathbb{R^{\ge1}}:\,x\mapsto\sqrt{x^2+1}$$Den Funktionsterm für die Umkehrfunktion haben wir beim Betrachten der Surjektivität bereits bestimmt (nur noch \(x\) und \(y\) vertauschen):$$f^{-1}:\mathbb{R^{\ge1}}\to\mathbb{R^{\ge0}}:\,x\mapsto\sqrt{x^2-1}$$

Comments

Okay die zweite Aufgabe verstehe ich jetzt mit dem Bildbereich erweitern.

Du hast ja jetzt bei beiden einfach ein y dazu genommen. Kann man das immer so machen, falls das nicht vorher schon dasteht so wie bei der Aufgabe? Ich dachte es würde einen Unterschied machen/ war beabsichtigt, dass das y weggelassen wurde.

Bei der ersten Aufgabe verstehe ich jedoch diesen Teil nicht:

a²=b²⇒a=±b

Wenn man da die Wurzel zieht muss nicht auch a² = ±a sein?

Vielen dank nochmal für die Antwort. (schon wieder ^^)

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Störe dich bitte nicht an dem \(y\). Um die Surjektivität zu zeigen, muss ich ein beliebiges Element aus der Zielmenge auswählen. Dieses habe ich einfach nur \(y\) genannt. Ich hätte es auch \(a\) oder \(Emma\) nennen können. Dann muss ich zeigen, dass es zu diesem Element \(y,a\) oder \(Emma\) ein passendes Argument \(x\) gibt, das darauf abbildet. Die Antwort auf deine Frage ist also "Ja", du kannst dir immer ein beliebiges Element aus der Zielmenge auswählen und es \(y\) nennen.

Beim Prüfen der Inkektivität im 2-ten Fall endeten wir mit$$a^2=b^2\quad\Rightarrow\quad a=\pm b$$Das heißt, es gibt zwei unterschiedliche Werte, z.B. a=2 und b=-2, die auf dasselbe Ziel abbilden. Wichtig für die Injektivität ist, dass beide Werte exakt dieselben sein müssen, a=b. Und das ist im vorliegenden Fall nicht gewährleistet.

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Gut ^^ mich hat das fehlende y nämlich sehr verwirrt, aber das macht Sinn.

Und jetzt verstehe ich. Das heißt ja dann das a immer positiv ist aber wenn a und b gleich sein müssen, müsste auch b positiv sein und deswegen ist es nicht injektiv. 

Also ohne ±b sondern nur a=b wäre dann injektiv. Und deswegen hast du angegeben das der Definitionsbereich nur entweder Zahlen für x zulässt die unter oder gleich 0 sind oder nur Zahlen die höher oder gleich 0 sind.

Ich glaube ich habs jetzt verstanden!

Vielen dank nochmal für die Mühe das alles so aufzuschreiben.

Answer 2

Hallo

 wenn man schreibt x-> √(x^2+1) ist gemein x wird abgebildet mit der funktion f(x)=√(x^2+1)

fur x1=x2 ist y1=y2 aber  der Kleinstadt Wert von y ist 1, also nicht subjektiv auf R

die du dann auch schreiben kannst y=√(x^2+1) dann y^2-1=x^2 und x=√(y^2-1)

allerdings ist jetzt x positiv,  während es ursprünglich auch negativ sein konnte, d. h, du hast 2 Umkehr Funktionen  für x>0  f-1(x)=+√(x^2-1) und x<=0   -√(x^2-1)

die Umkehrfunktion für die erste Aufgabe f(x)=-2x+7 ist f^-1(x)= -y/2+7/2 und nicht wie du schriebst eine Zahl.

Gruß lul