Integralgleichung vom Fredholm-Typ mittels Fourier-Transfomation lösen

Question

Hallo,

ich soll folgende Differentialgleichung mittels Fouriertransformation lösen:

$$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-\tau|}x(\tau) d\tau = \frac{1}{1+t^{2}}$$

Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich das angehen kann. Kann ich da die Faltungsformel verwenden und jeden teil einzeln in den Spektralbereich umrechnen?

Comments

Wo ist da eine Dgl.?

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Hallo,

ja die Faltungsformel ist der richtige Ansatz für diese Igl.

Gruß

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Wie kann ich das mit dem Betrag umgehen bzw. gut lösen da ich ja dann 2 Integrale habe oder?

Laut der Faltungsformel kann ich ja $$e^{-|t-\tau|}$$ fourier transformieren, heißt also ich kann $$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t-\tau|}e^{-i\omega\tau}d\tau$$

Ich könnte hier jetzt einfach auftrennen einmal für <0 und einmal >0 aber das kann ich dann schwer in meiner Differentialgleichung anwenden oder?

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Hallo

Du brauchst doch nur die Fouriertransformierte für \(t \mapsto \exp(-|t|)\), das ergibt eine ganz normale Funktion. Die Verschiebung um das \(\tau\) gehört doch zur Definition des Faltungsprodukts.

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Ja danke macht Sinn