0 Daumen
960 Aufrufe



Ich habe Nullahnung, wie ich so eine Aufgabe lösen soll. Könnt ihr mir hier helfen.

Ein an einer Feder aufgehängter Massepunkt wird ab dem Zeitpunkt t = 0 einer periodisch wirkenden äußeren Kraft F unterworfen, die zu einer Auslenkung führt. Die Lage y(t) des Massepunktes zum Zeitpunkt t >= 0 kann als Lösung des Anfangswertproblems beschrieben werden.

y''(t) + 9y(t) = F * sin(2t) ,  y(0) = y'(0) = 0


Welche Auslenkung hat der Massepunkt zum Zeitpunkt    t = \( \frac{3 π}{2} \)


Vielen Dank

Gruss Domi

Avatar von

Kann mir jemand noch erklären, wie man - technisch betrachtet - vorgehen müsste, um einen "Massepunkt" aufzuhängen ?

Bei allen Aufhänge-Vorrichtungen, die mir bekannt sind, würde der Massepunkt einfach mitten durch fallen .....

1 Antwort

0 Daumen
 
Beste Antwort

Hallo

 das ist eine inhomogene lineare Dgl. man löst zuerst den homogenen Teil also y''(t) + 9y(t) =0mit einem Exponentialansatz. y=A*eλt hier dann λ=+-3i und damit der allgemeinen Lösung y=C1*sin(3t)+C2*cos(3t)

 dann sucht man eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl mit dem Ansatz rechte Seite also

y=Asin(2t)+B*cos(2t) einsetzen in die Dgl und A,B aus Koeffizientenvergleich bestimmen.

 oder man sucht in wiki nach "erzwungene Schwingung"

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀

Hallo luI

Vielen Dank für den Tipp. Ich habe nun folgende Gleichung erhalten.

 y(t) = \( \frac{1}{5} \) F sin(2t) + C1 cos(3t) + C2 sin(3t)

Wenn ich nun die  Anfangswerte einsetze y(0) = y'(0) = 0 erhalte ich

C1 = 0 und C2 = -\( \frac{2}{15} \) F cos(2t) sec(3t)

Eingesetzt also:

y(t) = -\( \frac{2}{15} \) F cos(2t) sec(3t) sin(3t)+ \( \frac{1}{5} \) sin(2t)

setze ich nun t = \( \frac{3π}{2} \) kommt leider nichts brauchbares raus.


Was ist hier echt falsch?

Gruss Domi

Hallo

deine allgemeine Lösung ist richtig, auch C1=0 für y(0)=0 aber y'=0 ist doch

3C2cos(0)+2F/5cos(0)=0 also C2=-2F/15 was du bei der Konstanten noch mit t willst verstehe ich nicht Konstanten können nicht von t abhängen!

 deine Lösung ist also y=-2/15*Fsin(3t)+1/5F sin(2t) und da t=3/2pi einsetzen gibt schon was sinnvolles.

Gruß lul

Hi, erstmal vielen dank für eure Ausführungen. Ich hänge schon seit Tagen an dieser Aufgabe, jedoch verstehe ich leider nicht, wie ihr auf das Ergebnis y=C1*sin(3t)+C2*cos(3t) kommt. Wenn ich das durchrechne, wie ich es mir hergeleitet habe komme ich auf y=C1*cos(3t)+C1*sin(3t)+C2*cos(3t)+C2*sind(-3t). dann komme ich auch nicht weiter. Ich habe auch mal versucht, die mit den Ableitungen von Yh= C*e^(λt) jedoch komme ich dabei leider auch nur auf C1=C2=0. Hoffentlich kann mir jemand helfen und die Ansätze etwas erläutern, ich wäre euch sehr dankbar.


Liebe Grüße

Das passt doch. Nutze aus, dass \(\sin(x)=-\sin(-x)\) gilt und klammere die trigonometrischen Terme aus. Du hast dann lediglich andere Konstanten, die du aber zu einer neuen Konstanten zusammenfassen kannst.

Oh super, vielen Dank.


aber wohin "verschwindet dann das (2. cos)?

cos(x)=cos(-x)

lul

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community