Feder aufgehängter Massepunkt

Question

Ich habe Nullahnung, wie ich so eine Aufgabe lösen soll. Könnt ihr mir hier helfen.

Ein an einer Feder aufgehängter Massepunkt wird ab dem Zeitpunkt t = 0 einer periodisch wirkenden äußeren Kraft F unterworfen, die zu einer Auslenkung führt. Die Lage y(t) des Massepunktes zum Zeitpunkt t >= 0 kann als Lösung des Anfangswertproblems beschrieben werden.

y''(t) + 9y(t) = F * sin(2t) ,  y(0) = y'(0) = 0

Welche Auslenkung hat der Massepunkt zum Zeitpunkt    t = \( \frac{3 π}{2} \)

Vielen Dank

Gruss Domi

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Kann mir jemand noch erklären, wie man - technisch betrachtet - vorgehen müsste, um einen "Massepunkt" aufzuhängen ?

Bei allen Aufhänge-Vorrichtungen, die mir bekannt sind, würde der Massepunkt einfach mitten durch fallen .....

Answer 1

Hallo

 das ist eine inhomogene lineare Dgl. man löst zuerst den homogenen Teil also y''(t) + 9y(t) =0mit einem Exponentialansatz. y=A*e^λt hier dann λ=+-3i und damit der allgemeinen Lösung y=C1*sin(3t)+C2*cos(3t)

 dann sucht man eine partikuläre Lösung der inhomogenen Dgl mit dem Ansatz rechte Seite also

y=Asin(2t)+B*cos(2t) einsetzen in die Dgl und A,B aus Koeffizientenvergleich bestimmen.

 oder man sucht in wiki nach "erzwungene Schwingung"

Gruß lul

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Hallo luI

Vielen Dank für den Tipp. Ich habe nun folgende Gleichung erhalten.

 y(t) = \( \frac{1}{5} \) F sin(2t) + C₁ cos(3t) + C₂ sin(3t)

Wenn ich nun die  Anfangswerte einsetze y(0) = y'(0) = 0 erhalte ich

C₁ = 0 und C₂ = -\( \frac{2}{15} \) F cos(2t) sec(3t)

Eingesetzt also:

y(t) = -\( \frac{2}{15} \) F cos(2t) sec(3t) sin(3t)+ \( \frac{1}{5} \) sin(2t)

setze ich nun t = \( \frac{3π}{2} \) kommt leider nichts brauchbares raus.

Was ist hier echt falsch?

Gruss Domi

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Hallo

deine allgemeine Lösung ist richtig, auch C1=0 für y(0)=0 aber y'=0 ist doch

3C2cos(0)+2F/5cos(0)=0 also C2=-2F/15 was du bei der Konstanten noch mit t willst verstehe ich nicht Konstanten können nicht von t abhängen!

 deine Lösung ist also y=-2/15*Fsin(3t)+1/5F sin(2t) und da t=3/2pi einsetzen gibt schon was sinnvolles.

Gruß lul

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Hi, erstmal vielen dank für eure Ausführungen. Ich hänge schon seit Tagen an dieser Aufgabe, jedoch verstehe ich leider nicht, wie ihr auf das Ergebnis y=C1*sin(3t)+C2*cos(3t) kommt. Wenn ich das durchrechne, wie ich es mir hergeleitet habe komme ich auf y=C1*cos(3t)+C1*sin(3t)+C2*cos(3t)+C2*sind(-3t). dann komme ich auch nicht weiter. Ich habe auch mal versucht, die mit den Ableitungen von Yh= C*e^(λt) jedoch komme ich dabei leider auch nur auf C1=C2=0. Hoffentlich kann mir jemand helfen und die Ansätze etwas erläutern, ich wäre euch sehr dankbar.

Liebe Grüße

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Das passt doch. Nutze aus, dass \(\sin(x)=-\sin(-x)\) gilt und klammere die trigonometrischen Terme aus. Du hast dann lediglich andere Konstanten, die du aber zu einer neuen Konstanten zusammenfassen kannst.

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Oh super, vielen Dank.

aber wohin "verschwindet dann das (2. cos)?

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cos(x)=cos(-x)

lul