Wie finde ich die Werte von a und b mithilfe einer Gerade und einer Funktion?

Question

Für welchen Wert von a und b berührt die Kurve f(x) (x+a)*Wurzel(b*x) bei x=1 die Gerade durch p(4/1) und Q (-2/-5)?

Ich habe herausgefunden, dass die Gleichung der Gerade  g(x) = x-3   ist. Nun muss ich ja noch a und b herausfinden.

Das heisst, dass ich beide Funktionen gleichsetzen muss. Aber dann?

Answer 1

Aloha :)

Deine Gleichung für die Gerade \(g\) kann ich bestätigen. Wir haben also zwei Funktionen$$f(x)=(x+a)\sqrt{bx}\quad;\quad g(x)=x-3$$die sich im Punkt \(x=1\) berühren. Das heißt, an dieser Stelle sind ihre Funktionswerte gleich groß:$$f(1)=(1+a)\sqrt b\quad;\quad g(1)=-2\quad\stackrel{f(1)=g(1)}{\Rightarrow}\quad \underline{(1+a)\sqrt b=-2}$$und auch ihre Ableitungen sind bei \(x=1\) gleich groß:$$f'(x)=1\cdot\sqrt{bx}+(x+a)\sqrt b\cdot\frac{1}{2\sqrt x}\quad\Rightarrow\quad f'(1)=\sqrt b+\underbrace{(1+a)\sqrt b}_{=-2}\cdot\frac{1}{2}=\sqrt b-1$$$$g'(x)=1\quad\Rightarrow\quad g'(1)=1$$$$\stackrel{f'(1)=g'(1)}\Rightarrow\sqrt b-1=1\quad\Rightarrow\quad \sqrt b=2\quad\Rightarrow\quad \underline{b=4}$$Mit der Kenntnis von \(b\) können wir \(a\) berechnen:$$(1+a)\sqrt b=-2\quad\Rightarrow\quad(1+a)\cdot2=-2\quad\Rightarrow\quad1+a=-1\quad\Rightarrow\quad \underline{a=-2}$$Damit haben wir die Gleichung für \(f(x)\) gefunden:$$f(x)=(x-2)\sqrt{4x}=2(x-2)\sqrt x\quad;\quad g(x)=x-3$$

~plot~ 2(x-2)sqrt(x) ; x-3 ; {1|-2} ; {4|1} ; {-2|-5} ; [[-3|5|-6|6]] ~plot~

Comments

Ich hab gerade gemerkt, dass ich bei der Aufgabenstellung einen Tippfehler habe. Anstatt x-a ist es x+a

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Ich habe meine Antwort auf \(+a\) umgeschrieben. Das ändert aber nichts am Ergebnis, außer dass das \(a\) im Endergebnis sein Vorzeichen wechselt. Die Kurve und die Formel am Ende bleiben gleich.

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D a n k e ! Ich werde nun versuchen, es zu verstehen....