Aloha :)
Es ist \(\vec F=(3xy|-5z|10x)\) und \(\vec r=(t^2+1|2t^2|t^3)\) mit \(t\in[1;2]\).
$$E=\int\limits_{\vec r(1)}^{\vec r(2)}\vec F\,d\vec r=\int\limits_1^2\vec F\,\frac{d\vec r}{dt}\,dt=\int\limits_1^2\left(\begin{array}{c}3(t^2+1)(2t^2)\\-5t^3\\10(t^2+1)\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}2t\\4t\\3t^2\end{array}\right)\,dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_1^2\left((6t(2t^4+2t^2)-20t^4+30(t^4+t^2)\right)dt$$$$\phantom{E}=\int\limits_1^2\left(12t^5+12t^3+10t^4+30t^2\right)dt$$$$\phantom{E}=\left[2t^6+3t^4+2t^5+10t^3\right]_1^2=320-17=303$$Der Übergang von \(d\vec r\) zu \(\frac{d\vec r}{dt}\,dt\) ist entscheidend. Damit kann man das Integral über ein Vektor-Differential auf ein Integral über ein Parameter-Differential zurückführen. Wichtig ist auch noch, dass du in dem Vektorfeld die Koordinaten durch die Koordinaten des Weges ersetzt. Das ist erlaubt, weil du dich ja genau auf diesem Weg durch das Feld \(\vec F\) bewegst.
Wenn du noch irgendwelche Fragen hast, bitte einfach nochmal melden...
