Ist die Abbildung linear, injektiv, surjektiv?

Question

Die Abbildung sieht folgendermaßen aus:

f: R²  → R²    mit der Abbildungsvorschrift f((x, y))=(x , y)

Diese Abbildung ist eine lineare Abbildung. Das ist leicht mit der Definition gezeigt.

Nur wie zeigt man die injektivität und surjektivität einer linearen Abbildung. Wir haben den Begriff der Kern zum Beispiel nicht gehabt, was ich überall lese.

Vielen Dank!

Comments

Schlage die Definition von injektiv, surjektiv nach.  Das eine lineare Abbildung vorliegt wird nicht benötigt.

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Das hilft mir leider nicht weiter

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Hallo mrshelski, deinem Kommentar entnehme ich, dass du die Definitionen von Injektivität und Surjektivität nicht nachlesen kannst.  Dann übernehme ich das für dich.  Gezeigt werden soll zunächst Injektivität.  Laut Wikipedia heißt dies,
dass für alle x1, x2 aus dem Definitionsbereich gilt,
f(x1) = f(x2)  =>  x1 = x2

Ist f(x) = 2x + 5 injektiv?
Ist f(x) = x^2 injektiv?
Bitte prüfe das nach.

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Hallo mrshelski, hmmm, 2 Tage sind vorbei.  Wieso geht’s denn jetzt nicht weiter?  Hast du keine Lust mehr auf deine Aufgabe?

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Hallo RomanGa,

es sind nun mehrere Tage vorbei. Die Definition kenn ich vom sehen her, aber das anwenden fällt mir immer noch schwer.

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Hallo mrshelski, dann helfe ich dir noch mehr.  Zum Prüfen von f(x) = 2x + 5 auf Injektivität setzt du es einfach in
f(x1) = f(x2)  =>  x1 = x2
ein.  Was kommt da raus?  Eine wahre oder falsche Aussage?

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ja?

2x_1 +5 = 2x_2 +5

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vgl:

https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/linalg/leit/linear.htm

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Fast.  Korrekt ist 2x_1 + 5 = 2x_2 + 5 => x_1 = x_2
Dies ist eine wahre Aussage.  Also ist f(x) injektiv.
Prüfe jetzt Injektivität bitte für die zweite Funktion.

Answer 1

Okay, hast keine Lust mehr auf deine Aufgabe.