Zweimaliges Werfen einer Laplace Münze

Question

Felix besitzt 4€ und spiel folgendes Spiel:

Er wirft zweimal eine Laplace Münze.

Jedes mal wenn Kopf fällt, wird sein Guthaben halbiert;

fällt, so wird sein Guthaben verdoppelt.

Geben Sie zu allen Ergebnissen auch den Rechenweg an!

a) Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für sein Guthaben am Spielende.

b) Das Spiel soll fair bleiben.

     Daher wird für Zahl das Guthaben nicht verdoppelt,

     sondern es wird um den Faktor a vervielfacht. Bestimmen Sie a!

Answer 1

a) Mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes stellt man fest, dass die Zufallsvariable X drei verschiedene Werte annehmen kann, nämlich

X = 4 * ( 1 / 2 ) * ( 1 / 2 ) = 1

mit der Wahrscheinlichkeit p ( X = 1 ) = 0,25  ( Kopf, Kopf )

X = 4 ( 1 / 2 ) * 2 = 4

mit der Wahrscheinlichkeit P ( X = 4 ) = 0,25 ( Kopf, Zahl ) + 0,25 ( Zahl, Kopf) = 0,5

X = 4 * 2 * 2  = 16

mit der Wahrscheinlichkeit p ( X = 16 ) = 0,25  ( Zahl, Zahl )

Für den Erwartungswert E X gilt daher:

E X = 1 * 0,25 + 4 * 0,5 + 16 * 0,25

= 6,25

b) Das Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert für das Guthaben nach dem Spiel gleich dem Guthaben vor dem Spiel ist, wenn also gilt:

E X = 4

Es ist festzustellen, für welchen Vervielfältiungsfaktor a im Falle, dass Zahl fällt, dieser Erwartungswert erreicht wird. Wiederum mit Hilfe eines W-Baumes stellt man fest, dass die vier möglichen Versuchsausgänge nun

X = 4 * ( 1 / 2 ) * ( 1 / 2 ) = 1

mit der Wahrscheinlichkeit p ( X = 1 ) = 0,25  ( Kopf, Kopf )

X = 4 * ( 1 / 2 ) * a = 2 a

mit der Wahrscheinlichkeit P ( X = 2 a ) = 0,25 ( Kopf, Zahl ) + 0,25 ( Zahl, Kopf) = 0,5

X = 4 * a * a = 4 a ²

mit der Wahrscheinlichkeit p ( X = 4 a ² ) = 0,25  ( Zahl, Zahl )

sind,

sodass für den Erwartungswert gilt:

E X = 1 * 0,25 + 2 a * 0,5 + 4 a ² * 0,25

= 0,25 + a + a ²

Die Bedingung E X = 4 wird also erreicht, wenn gilt:

0,25 + a + a ² = 4

<=> ( a + 0,5 ) ² = 4

<=> a + 0,5 = +/- 2

<=> a = - 2,5 oder a = 1,5

Wenn also das Guthaben im Falle eines Gewinns (Zahl) nicht verdoppelt sondern lediglich mit 1,5 verfielfältigt wird, dann ist der Erwartungswert des Guthabens nach dem Spiel gleich dem Guthaben vor dem Spiel (nämlich 4 Euro) und damit ist das Spiel fair. 

Interessanterweise ist das Spiel auch dann fair (der Erwartungswert für das Guthaben nach dem Spiel also gleich 4 , wenn das Guthaben im Falle eines Gewinnes mit - 2,5 multipliziert wird!

Answer 2

E = 1/4 * 1 + 1/2 * 4 + 1/4 * 16 = 6.25

V = 1/4 * (1 - 6.25)^2 + 1/2 * (4 - 6.25)^2 + 1/4 * (16 - 6.25)^2 = 33.1875

 

E_fair = 1/4 * 1 + 1/2 * 2 * a + 1/4 * 4 * a^2 = 4
a = 1.5