Ermitteln Sie auch die Gerade g´?

Question

Schönen Sonntag,

ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe:

Berechne den Schnittpunkt sowie den Schnittwinkel von g und E. Ermittle auch die Gerade g´, die in E verläuft und die durch orthogonale Projektion von g und E entsteht.

Also für den ersten Teilschritt würde ich jetzt einfach die x1,... Koordinaten in die Koordinatenform einsetzen und dann halt nach der Variablen (beispielsweise "r") auflösen.  Insbesondere habe ich aber bei der zweiten Teilaufgabe enorme Problem....

Dankeschön im Voraus!

Ps. hab die Koordinatenform gegeben.

Answer 1

Also für den ersten Teilschritt würde ich jetzt einfach die x1,... Koordinaten in die Koordinatenform einsetzen und dann halt nach der Variablen (beispielsweise "r") auflösen.

Völlig richtig

Insbesondere habe ich aber bei der zweiten Teilaufgabe enorme Problem....

Du meinst den Schnittwinkel? Da gibt es eine einfache Formel.

Oder meinst du die Orthogonalprojektion?

Nimm einfach aus dem Richtungsvektor der Geraden den Anteil in Richtung des Normalenvektors heraus. Dann bleibt eigentlich die Richtung in der Ebene übrig. Am einfachsten wenn du deine Aufgabe zur Verfügung stellst, dann müsste ich keine Aufgabe suchen.

Comments

eigentlich nur die Projektion, hab beim schreiben das mit dem Schnittwinkel komplett vergessen,... :), die Aufgabe wäre

g:x=\( \begin{pmatrix} -1\\0\\6 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

Und die Ebene geht durch die Punkte:

P(1/-1/3); Q(2/1/4); R(3/0/6)

Die Aufgabe ist jetzt nicht in Koordinatenform.

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Bei der Projektion kann ich leicht helfen, wenn du die Aufgabe zur Verfügung stellst.

Eigentlich langt der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden.. Aus den bastels du ja den Richtungsvektor der Orthogonalprojektion.

Eigentlich langt zweimal das Kreuzprodukt zu nehmen

v' = (v x n) x n

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Also das hier wäre die Aufgabe

g:x= \( \begin{pmatrix} -1\\0\\6 \end{pmatrix} \) +t  \( \begin{pmatrix} 3\\1\\-2 \end{pmatrix} \)

Und die Ebene geht durch die Punkte:

P(1/-1/3); Q(2/1/4); R(3/0/6)

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PQ = [1, 2, 1]
PR = [2, 1, 3]
n = [1, 2, 1] ⨯ [2, 1, 3] = [5, -1, -3]
E: 5·x - y - 3·z = -3

Hier g einsetzen

5·(-1 + 3·t) - (t) - 3·(6 - 2·t) = -3 --> t = 1

Schnittpunkt

S = [-1, 0, 6] + 1·[3, 1, -2] = [2, 1, 4]

Orthogonalprojektion des Richtungsvektors von g auf die Ebene.

v' = [3, 1, -2] ⨯ [5, -1, -3] ⨯ [5, -1, -3] = [-5, -55, 10] = -5·[1, 11, -2]

Die Orthogonalprojektion von der Geraden g ist also

g': X = [2, 1, 4] + r·[1, 11, -2]

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Vielen lieben lieben Dank!

Rechne ich gleich mal nach! :)

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Kannst du mir einmal genau erklären wie man überhaupt darauf kommt?

Also bisher habe ich es zwar genauso, aber es wäre schön wenn ich verstehe wie das mit der Projektion funktioniert

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Also bisher habe ich es zwar genauso, aber es wäre schön wenn ich verstehe wie das mit der Projektion funktioniert

Das ist keine Hexerei.

Stell dir einfach mal eine x-y-Ebene vor und einen Vektor v

Bei einer Orthogonalprojektion wird die Ebene senkrecht also entlang des Normalenvektors mit Licht angestrahlt und man interessiert sich jetzt für den Schatten, der in der Ebene E entsteht.

Das versteht man unter einer Orthogonalprojektion.

Grafisch etwas anspruchsvoller wird es, wenn die Ebenen schief im Koordiatensystem liegen und nicht parallel zu den Achsen des Koordinatensystems.

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Das verstehe ich auch, aber wie kommt man auf diese Formel v´= (v x n) x n

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v x n

gibt einen Vektor der in der Ebene liegt senkrecht zum blauen Vektor

(v x n) x n

gibt einen Vektor der zum vorherigen nochmals um 90 Grad in der Ebene gedreht ist und damit den gewünschten Vektor.

Mach dir das klar indem du die Ergebnisse oben in die Skizze einträgst. Von den Ergebnissen ist nur die Richtung interessant, nicht aber die Orientierung.

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Vielen Dank, hab ich endlich verstanden und hatte auch dasselbe raus. ;)

Aber jetzt habe ich eine "Musterlösung" und dort steht:

g´:x= [-1, 0, 6] + t [2, 1, 4]

Kann das überhaupt stimmen weil (-1,0,6), gar kein Schnittpunkt mit der Ebene ist (Wie die Lösung zustande kam, weiß ich leider auch nicht)

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Das kann nicht stimmen. Wenn man sich das aufzeichnet sieht das so aus

Das rote ist unsere Lösung. Das lilane die Musterlösung.Und wie du richtig erkannt hast verläuft die lilane gerade nicht in E, was aber eine Bedingung war.

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=ebene(1%7C-1%7C3%202%7C1%7C4%203%7C0%7C6)%0Agerade(-1%7C0%7C6%202%7C1%7C4)%0Agerade(2%7C1%7C4%203%7C12%7C2)%0Agerade(-1%7C0%7C6%201%7C1%7C10)

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ich habe gerade auch mit Geogebra rumexperimentiert und das hat einfach nicht gepasst. Ich weiß auch kann ich, wie er darauf gekommen ist. Da ist ja nicht nur der Ortsvektor sondern auch schon der Richtungsvektor falsch...

Aber vielen Dank, das fühlt sich ja fast schon wie ein Nachhilfelehrer an.. :D

Answer 2

Gerade in Raum g: x=a+r*m

Ebene in Koordinatenstarstellung E: a*x+b*y+c*z+d=0  Normalenvektor n(a/b/c)

Winkel zwischen 2 Vektoren (a)=arccos(Betrag(a*b/((a)*(b))

a*b=ax*bx+ay*by+az*bz  Skalarprodukt

Betrag (a)=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag (b)=Wurzel(bx²+by²+bz²)

Schnittwinkel (a) zwischen der Geraden und der Ebene

(a)=arccos(Betrag(m*n/((m)*(n))

das ist den kleine Winkel zwischen den beiden Vektoren m(mx/my/mz) und n(a/b/c)

g´ ohne Zeichnung kann ich mir hier keinen Überblick verschaffen und ich will hier auch nichts Falsches schreiben

Answer 3

Zur Geraden g':

Ich würde eine Hilfsebene E* bestimmen, die durch die Gerade g und den Normalenvektor der Ebene E aufgespannt wird. Die Schnittgerade von E und E* ist dann g'-