Gerade bestimmen die die Ebene senkrecht schneidet?

Question

Aufgabe:

… bestimme eine gerade G, die die Ebene E:x (3/2/5) +r (2/3/-1)+s (1/3/1) senkrecht schneidet .

( die in Klammer gesetzten Zahlen sollen Vektoren sein )

Problem/Ansatz:

… weiß echt nicht wie ich hier vorgehen soll da ich nur eine Parameterform gegeben habe .

Answer 1

Hallo,

berechne das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren. Das ergibt den Normalenvektor der Ebene.

Wähle deinen einen Punkt der Ebene als Orsvektor und den Normalenvektor als Richtungsvektor.

Melde dich, falls du dazu noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Comments

Welchen Punkt soll ich als ortsvektor nehmen

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Du kannst (3|2|5) nehmen oder irgendeinen anderen Punkt, den du dadurch bestimmst, dass du für die Parameter r und s Zahlen einsetzt.

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Welchen Punkt soll ich als ortsvektor nehmen

das ist völlig egal! z.B. den Ursprung

mit dem Richtungsvektor$$n=\begin{pmatrix} 2\\ -1\\ 1\end{pmatrix}$$steht die Gerade immer senkrecht auf der Ebene.

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Danke schomal

Lautet die gerade dann

g:x =(3/2/5)+r (2/—1/1)?

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Lautet die gerade dann
g:x =(3/2/5)+r (2/—1/1)?

Ja - das wäre eine(!) der Geraden, die senkrecht auf der Ebene \(E\) stehen. Wichtig ist nur, dass der Richtungsvektor in Richtung \((2|-1|1)\) zeigt. "In Richtung" heißt, dass Du den Vektor auch mit einem beliebigen Faktor (außer 0) multiplizieren kannst.

Welchen Aufpunkt Du wählst, ist dabei egal. Also wäre auch$$h: \quad x = r\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$ eine Gerade, die \(E\) senkrecht schneidet (s. das Bild in meinem Kommentar).

Answer 2

Aloha :)

Du kennst die Parameterform der Ebene:$$E\colon\vec x=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}$$Du sollst nun irgendeine beliebige Gerade \(g\) angeben, die auf dieser Ebene senkrecht steht. Wir können diese Gerade also z.B. am Ankerpunkt \((3|2|5)\) der Ebene festmachen:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}3\\2\\5\end{pmatrix}+t\cdot\vec v$$

Jetzt fehlt uns noch der Richtungsvektor \(\vec v\) der Geraden. Dieser Vektor \(\vec v\) muss auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht stehen. Den Vektor \(\vec v\) kannst du mit verschiedenen Methoden berechnen.

Methode 1: Vektorprodukt ist bekannt.

Wenn du das Vektorprodukt bereits gelernt hast, kannst du \(\vec v\) damit berechnen:$$\vec v=\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot1-(-1)\cdot3\\(-1)\cdot1-2\cdot1\\2\cdot3-3\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\-3\\3\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$Die Länge des Vektors \(\vec v\) ist egal, weil der Parameter \(t\) aus der Geradengleichung jede beliebige reelle Zahl sein darf. Uns geht es nur um die Richtung des Vektors, nämlich senkrecht zur Ebene. Es ist daher egal, ob du \(\vec v=(6;-3;3)^T\) oder \(\vec v=(2;-1;1)^T\) angibst.

Methode 2: Skalarprodukt ist bekannt.

Wenn du das Vektorprodukt noch nicht kennst, hilft dir das Skalarprodukt weiter. Wenn nämlich 2 Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist ihr Skalarprodukt \(=0\). Unser Vektor \(\vec v\) muss auf beiden Richtungsvektoren der Ebene senkrecht stehen. Das heißt:$$\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0\quad\text{und}\quad\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}=0$$Die Skalarprodukte kannst du ausrechnen:$$2v_1+3v_2-v_3=0\quad\text{und}\quad v_1+3v_2+v_3=0$$und umformen:$$\pink{v_3=2v_1+3v_2}\quad\text{und}\quad v_1+3v_2+(\pink{2v_1+3v_2})=3v_1+6v_2=0\implies\green{v_1=-2v_2}$$Wir setzen die grüne Gleichung in die pinke ein:$$\pink{v_3}=\pink2\cdot\green{(-2v_2)}\pink{+3v_2}\implies\blue{v_3=-v_2}$$Damit hast du alle möglichen Vektoren \(\vec v\) gefunden (nur die Richtung interessiert uns):$$\vec v=\begin{pmatrix}\green{v_1}\\v_2\\\blue{v_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\green{-2v_2}\\v_2\\\blue{-v_2}\end{pmatrix}=(-v_2)\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$$