Matheaufgabe :) Ebene E und Gerade g in Parameterdarstellung

Question

Kann mir jemand helfen und mir einen Ansatz geben, mit dem ich die Aufgabe lösen kann? Mir fällt nämlich kein Startpunkt ein oder wie ich vorgehen könnte.  LG

Answer 1

hixna,

leider kann ich die Aufgabenstellung aufgrund eines fehlenden Aufgabentextes nur erahnen. Ich nehme an, dass Du den Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E berechnen sollst. Zu diesem Zweck setzt Du die Gerade und Ebene gleich und löst das daraus entstandene Lineare Gleichungssystem.

 

Ein gutes Erklärvideo zu diesem Vorgehen gibt es hier:

Hilft Dir das weiter? Melde Dich bei Rückfragen gerne wieder.

André, savest8

Comments

Huch da hab ich glatt die Aufgabe vergessen, ohje! Die Aufgabe lautet: Wie liegen E und g zueinander?

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Kein Problem, hixna. Das Vorgehen ist dasselbe. Du löst das Gleichungssystem. Hier werden die Interpretationsmöglichkeiten erklärt.

Answer 2

Hallo hixna, 

Solltest du die Normalenform einer Ebene in der Schule noch nicht behandelt haben, geht für die Schnittpunktberechnung nur das Gleichsetzungsverfahren von André in A1.

Da man hier die Normalenform zuerst ausrechnen muss, besteht beim Aufwand auch kaum ein Unterschied. In den meisten Aufgaben muss man aber die Normalenform - wenn sie wie hier nicht gegeben ist - für andere Fragen sowieso ausrechnen, und dann ist die reine Schnittpunktberechnung mit der NF tatsächlich einfacher:

Ich schreibe die Vektoren in Zeilen (statt Spalten).

 Jeder Normalenvektor  \(\vec{n}\) steht senkrecht auf E, deshalb kann man das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren nehmen:

\(\vec{n}\)  =  [2, 1, 1] ⨯ [-1, 3, 1] = [-2, -3, 7] 

Mit dem Richtungsvektor  \(\vec{u}\) der Geraden sollte man zuerst überprüfen, ob das Skalarprodukt  \(\vec{n}\) •  \(\vec{u}\) = 0 ist:

[-2, -3, 7] • [1, -1, 0]  =  1 ≠ 0   →  g ist nicht parallel  zu E

Deshalb ist die Frage "Wie liegen E und g zueinander?" damit  bereits beantwortet:                 g schneidet E in einem Punkt. 

Wäre g || E (wenn dann der Aufpunkt von g in E liegt, wäre g in E enthalten), wäre man auch bereits fertig.

Wenn der Schnittpunkt berechnet werden soll:

Normalenform:

E:   \(\vec{n}\) • \(\vec{x}\) - \(\vec{n}\) • \(\vec{a}\) = 0

\(\vec{n}\) • \(\vec{a}\) = [2, 1, 1] • [2, 0, 1]  =  5

→  E:    [-2, -3, 7] • \(\vec{x}\) - 5 = 0

Jetzt kannst du für \(\vec{x}\) den Geradenterm einsetzen und das zum Schnittpunkt passende λ_s  ausrechnen:

[-2, -3, 7] • ( [3, 2, 1] + λ_s * [1, -1, 0] ) - 5 = 0

- 5 + λ_s * 1 - 5 = 0     →   λ_s = 10 

Einsetzen in die Gerade ergibt den Schnittpunkt:

     \(\vec{s}\) = [3, 2, 1] + 10 * [1, -1, 0]  = [13, -8, 1]        → S( 13 | - 8 | 1).

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Da der Normalenvektor \(\vec{n}\) von E kein Vielfaches des Richtungsvektors  \(\vec{u}\)  von g ist, steht g nicht senkrecht auf E.

Jetzt könnte man noch den Schnittwinkel α zwischen E und g ausrechnen:

sin(α) = | \(\vec{n}\) •  \(\vec{u}\) / ( |\(\vec{n}\)| * |\(\vec{u}\)| ) |

Der kleinere der beiden möglichen Winkel, die sich hier in ] 0°; 180°[ ergeben, ist dann (nach Definition) der gesuchte Schnittwinkel.

Gruß Wolfgang