lineare Abbildungen beweisen oder widerlegen

Question

a) Die Abbildung f : R² → R²   f(\( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} (a+b)^{2}\\(a-b)^2 \end{pmatrix} \) ist ℝ-linear

b)

,Die Abbildung f : ℝ³  → ℝ[X], f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)) = (a+b)(X² + 1) - c ist ℝ-linear.

c)

Ist f ∈ ℝ^ℝ  linear und g ∈ ℝ^ℝ  nicht linear, so ist f + g nicht linear.

Answer 1

a) Vergleiche    f(\( \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \))  und    f(\( \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} \))

und    f(\( \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix} \))

Die Summe der ersten beiden ist nicht gleich dem dritten. ==> f nicht lionear.

b) ist linear, denn du kannst nachrechnen

   f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)) +    f(\( \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} \))

=    f(\( \begin{pmatrix} a+d\\b+e\\c+f \end{pmatrix} \))

und auch    f(\( \begin{pmatrix} ka\\kb\\kc \end{pmatrix} \)) =k*   f(\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \))

c) ist wahr. Denn wäre f+g linear und mit f ist ja auch -f linear, dann wäre auc

-f + (f+g) linear, also g linear.

Comments

Ist f ∈ ℝ^ℝ  linear und g ∈ ℝ^ℝ  nicht linear

f(x)= x+x^2 ist aber nicht linear. 

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Oh pardon, ich hatte 2x "nicht linear" zu lesen gemeint.

Korrigiere ich.

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Vielen Dank für die Antwort. Verstehe c noch nicht genau muss ich gestehen , könntest du das eventuell erläutern?

Mit freundlichen Grüßen

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Zu beweisen:   f + g nicht linear.

Angenommen   f + g  linear.

Bekannt ist   -f   ist linear

==>  (Weil die Summe zweier linearer linear ist.)

           f+g   +  (-f)    ist linear

Das ist aber g. Und lt. Voraussetzung ist g nicht linear.

Also Widerspruch !