Bais erzeugen von einem Vektorraum

Question

Wir betrachten den R-Vektorraum V = R⁴  und den Untervektorraum

U:= {\( \begin{pmatrix} a\\b\\c\\d \end{pmatrix} \) ∈ ℝ⁴ ⌈ a - b + c - d = 0 } von V . (Dass U ≤ V gilt, brauchen Sie hier nicht beweisen.) Geben Sie jeweils eine Basis vn U an (wie üblich mit einem genauen, kleinschrittigen Beweis).

Answer 1

Aloha :)$$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\a-b+c\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\\1\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\\-1\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\\1\end{array}\right)$$

Comments

Hallo Tschakabumba. Wärst du so lieb und beweist das noch zum Verstehen? Wir brauchen das für die Aufgabe :)

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Wenn ihr noch zeigen müsst, dass das wirklich eine Basis ist, müsst ihr zeigen, dass der Nullvektor durch die Wahl der Basis nur mit \(a=0,b=0,c=0\) dargestellt werden kann. Weil ihr die erste Koordinate auf \(0\) kriegen müsst, folgt \(a=0\). Die zweite Komponente ist genau dann \(0\), wenn \(b=0\) ist. Die dritte Komponente schließlich wird nur zu \(0\), wenn auch \(c=0\) ist. Die vierte Komponente ist dann natürlich auch \(0\).