Aloha :)
Ein Polynom 3-ten Grades hat die Form: \(y(x)=ax^3+bx^2+cx+d\). Da das Ausgleichspolynom den Punkt \((0|1)\) sicher enthalten soll, legen wir, wegen \(y(0)=d\), die Konstante \(d=1\) fest:$$y(x)=ax^3+bx^2+cx+1$$Du kannst nun 2 Vektoren bestimmen. Der eine Vektor enthält die gemessenen \(y\)-Werte, nennen wir sie mal \(y_m\), der andere Vektor enthält die gemäß des Ausgleichspolynoms \(y(x_m)\) berechneten Werten für die Messorte \(x_m\). Das sieht dann etwa so aus:
$$\vec y_m=\begin{pmatrix}-5\\-1\\1,5\\2\\8\end{pmatrix}\quad;\quad \vec y=\begin{pmatrix}y(-2)\\y(-1)\\y(0)\\y(2)\\y(3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8a+4b-2c+1\\-a+b-c+1\\1\\8a+4b+2c+1\\27a+9b+3c+1\end{pmatrix}$$Die Idee ist nun, die Parameter \(a,b,c\) so zu bestimmen, dass der Vektor \(\vec y\) dem Vektor \(\vec y_m\) "möglichst nahe" kommt. Das heißt, der Betrag der Differenz der beiden Vektoren soll minimal sein. Wir definieren dafür eine Funktion \(f(a,b,c)\), die es zu minimieren gilt:$$f(a,b,c)=\left\|\vec y-\vec y_m\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-8a+4b-2c+6\\-a+b-c+2\\-0,5\\8a+4b+2c-1\\27a+9b+3c-7\end{pmatrix}\right\|\stackrel{!}{\to}\text{Minimum}$$Anstatt den Betrag des Vektors zu minimieren, können wir mit demselben Ergebnis auch das Quadrat minimieren. Das spart uns beim Berechnen die Wurzel. Sei daher \(F(a,b,c)=f^2(a,b,c)\):
$$F(a,b,c)=(-8a+4b-2c+6)^2+(-a+b-c+2)^2+(-0,5)^2+$$$$\phantom{F(a,b,c)}=(8a+4b+2c-1)^2+(27a+9b+3c-7)^2$$$$\phantom{F(a,b,c)}=858 a^2 + 484 a b + 228 a c - 494 a + 114 b^2 + 52 b c - 82 b + 18 c^2 - 74 c + 90,25$$Die partiellen Ableitungen müssen verschwinden:$$0=\frac{\partial F}{\partial a}=2 (858 a + 242 b + 114 c - 247)$$$$0=\frac{\partial F}{\partial b}=2 (242 a + 114 b + 26 c - 41)$$$$0=\frac{\partial F}{\partial c}=2 (114 a + 26 b + 18 c - 37)$$Wir haben also ein lineares Gleichungssysem gefunden:
$$\left(\begin{array}{r}a & b & c & =\\\hline 858 & 242 & 114 & 247 \\ 242 & 114 & 26 & 41 \\ 114 & 26 & 18 & 37\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0,437198\\-0,605072\\0,160628\end{pmatrix}$$
Damit sind wir am Ziel:$$y(x)=0,437198x^3-0,605072x^2+0,160628x+1$$
~plot~ 0,437198x^3-0,605072x^2+0,160628x+1 ; {0|1} ; {-2|-5} ; {-1|-1} ; {0|1,5} ; {2|2} ; {3|8} ; [[-3|4|-6|9]] ~plot~
