Schnittgerade zweier Ebenen berechnen

Question

Folgende Ebene ist gegeben

E1: \( \vec{r} \) (λ;µ) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \) + λ \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix} \)

E2 : -5x + 4y -13z -28 = 0

Aufgabe bestimme die schnittgerade

x = 2 + λ + 5μ

y = 3 - 2λ + 3μ

z = 2 + λ + μ

Nach λ auflösen, λ = -2 -μ

λ In die Parameterform einsetzen

  g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 2\\3\\2 \end{pmatrix} \) + (-2 - μ) \( \begin{pmatrix} 1\\-2\\1 \end{pmatrix} \) + μ \( \begin{pmatrix} 5\\3\\1 \end{pmatrix} \)

g : \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\7\\0 \end{pmatrix} \) + μ  \( \begin{pmatrix} 4\\5\\0 \end{pmatrix} \)

Ist die schnittgerade korrekt?

Comments

Hi, Haste schon die 6.Aktivübung gemacht?

---

Hi, ne habe mir die noch gar nicht angeschaut bin derzeit mit Physik beschäftigt. Wenn ich damit fertig bin können wir uns gerne austauschen

---

Alles klar, bin auch grad dabei

---

Wie siehst aus bist du fertig geworden?

---

Nein leider nicht ganz mir fehlen noch 2aufgaben, wie schaut’s bei dir aus?

---

Bin soweit fertig überarbeite das ganze noch, wenn du einen Tipp brauchst melde dich einfach

---

Wollen wir die Nummern austauschen?

---

Können wir machen

---

01638111801 schreib mir mal

Answer 1

Aloha :)

Aus der Gleichung für Ebene \(1\) entnimmst du die drei Koordinatengleichungen:$$x=2+\lambda+5\mu$$$$y=3-2\lambda+3\mu$$$$z=2+\lambda+\mu$$Diese Werte kannst du direkt in die Koordinatengleichung für Ebene \(2\) einsetzen:

$$0=-5x+4y-13z-28$$$$\phantom{0}=-5(2+\lambda+5\mu)+4(3-2\lambda+3\mu)-13(2+\lambda+\mu)-28$$$$\phantom{0}=-26 λ - 26 μ - 52=-26(\lambda+\mu+2)$$$$\Rightarrow\quad\lambda+\mu+2=0\quad\Rightarrow\quad\mu=-\lambda-2=-(\lambda+2)$$Das setzen wir in die Gleichung für Ebene \(1\) ein, um die Schnittgerade zu erhalten:

$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-(\lambda+2)\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}2\\3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}10\\6\\2\end{pmatrix}+\lambda\left[\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}5\\3\\1\end{pmatrix}\right]$$$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}-8\\-3\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}-4\\-5\\0\end{pmatrix}$$Das kann man noch so umschreiben, dass es deinem Ergebnis näher kommt:$$g:\;\vec x=\begin{pmatrix}0\\7\\0\end{pmatrix}+\lambda\begin{pmatrix}4\\5\\0\end{pmatrix}$$Ich habe dasselbe raus wie du, obwohl ich \(\mu\) ersetzt habe und du \(\lambda\).

Comments

Danke für deinen Beitrag

Answer 2

Wie kann man

x = 2 + λ + 5μ
y = 3 - 2λ + 3μλ
z = 2 + λ + μ
nach λ auflösen?

Setze E₁ in E₂: \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \) ·\( \begin{pmatrix} -5\\4\\-13 \end{pmatrix} \) =28 ein. Berechne daraus λ in Abhängigkeit von μ, Setze λ in E₁ ein.

Comments

Das habe ich auch gemacht habe mich da nur etwas zu kurz gefasst

---

Nicht auf die Schreibweise achten, ist ein Schmierzettel 

---

Das habe ich auch gemacht habe mich da nur etwas zu kurz gefasst.

Deine sogenannte Kurzfassung ergibt keinen Sinn. Aber wenn du es so gemacht hast, wie ich vorschlug, ist alles gut. Deinen Schmierzettel sehe ich mir nicht an.

---

Ok, trotzdem danke

Answer 3

Im Normalfall benutzt man die Parameter r und s

E1 x=(2/3/2)+r*(1/-2/1)+s*(5/3/1)

eingesetzt in E2 und nach s=... umgestellt

s=-2-1*r

eingesetzt in E1

g: x=(-8/-3/0)+r*(-4/-5/0)

m(-4/-5/0) *(-1)=(4/5/0)  ist eine Richtungsänderung (entgegengesetzte Richtung)

g: x=(-8/-3/0)+r*(4/5/0)  Änderung des Stützpunktes mit r=2

x=(0/7/0)+r*(4/5/0)

Das ist deine Gerade

Unterschied

1) anderer Stützpunkt (Stützvektor) a(ax/ay/az)

2) Richtungsvektor in entgegengesetzter Richtung

für die Gerade nutzt man die Buchstaben

g: x=a+r*m  → x=(ax/ay/az)+r*(mx/my/mz)