Hier ist die Folge;
\( a_{n}=\frac{n-2}{1+2 n} \)
Ich sollte die Monotonie untersuchen. Bei uns im Skript gibt es so ein Verfahren, bei dem man
\( a_{n+1}-a_{n} \) anwendet und dann anwendet,um zu gucken ob der Bruch AM Ende negativ ist oder positiv ist.
\( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \)
Wenn der Bruch positiv oder negativ ist, ist sie wachsend oder fallend:
streng mon. wachsend \( \Leftrightarrow\left(a_{n+1}>a_{n} \forall n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\right) \Leftrightarrow\left(a_{n+1}-a_{n}>0 \forall n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\right) \)
\( \left(a_{n}\right)_{n \geq 1} \)
streng mon. fallend \( \Leftrightarrow\left(a_{n+1}<a_{n} \forall n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\right) \Leftrightarrow\left(a_{n+1}-a_{n}<\operatorname{ot} n \in \mathbb{Z}_{\geq 1}\right) \)
Ich habe es vorgerechnet und ich habe streng monoton fallend raus, da der Bruch negativ ist kann sich einer die Rechnung angucken und bestätigen ob ich richtig liege?
Text erkannt:
\( \begin{aligned} a_{n+1}-a_{n} &=\frac{(n+1)-2}{1+2(n+1)}-\frac{n-2}{1+2 n} \\ &=\frac{n-1}{2 n+3}-\frac{n-2}{1+2 n} \\ &=\frac{(n-1) \cdot(1+2 n)}{(2 n+3) \cdot(1+2 n)} \cdot(2 n+3) \\ &=\frac{n-1+2 a^{2}-2 n-2 n^{2}+3 n-4 n-6}{2 n+4 n^{2}+3+6 n} \\ &=\frac{-4 n-7}{8 n+4 n^{2}+3}<0 \end{aligned} \)
