Umkehrabbildung mit 2 Variablen !

Question

Hallo Leute,

ich versuche schon seit Stunden diese Aufgabe zu lösen :

f (x,y) := { \( \frac{x}{x^2+y^2} \) , \( \frac{y}{x^2+y^2} \). für f(x,y) ≠ (0,0)

                (0,0) für f(x,y)= (0,0)

Ich muss zeigen dass diese Funktion bzw. Abbildung bijektiv ist.Ich weiß, dass ich eine Umkehrabbildung finden muss.

Nur weiß ich nicht ganz wie ich das mit den 2 Variablen machen soll?

Meine Idee : ich zeige dass das bijektiv ist also zeigen, dass diese injektiv und surjektiv ist und anschließend eine Umkehrabbildung finden.

Ich brauche aber dringend Hilfe, da ich schon bei der injektivität nicht voran komme, da ich leider nicht auf x=x' komme.

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Comments

Kann es sein, dass die Abbildung selbstinvers ist?

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f:  ℝ×ℝ →ℝ×ℝ, also wenn ich mir den Definitionsbereich und Wertebereich angucken , ja.

Dann ist es selbstinvers. Aber heißt das dann dass gerade die Abbildung die Umkehrabbildung ist?

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Wenn die Abbildung selbstinvers ist, dann ist sie ihre eigene Umkehrabbildung. Es müsste dann folgendes gelten$$f\big(f(x,y)\big)=f\left(\tfrac x{x^2+y^2},\tfrac y{x^2+y^2}\right)=(x,y).$$

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ok das habe ich verstanden aber kann ich dann einfach daraus schließen, dass sie bijektiv ist?

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Denke schon.