Beweis das es ein Element f gibt, sodass f(v_i) ungleich 0 ist

Question

Hallo,

Ich habe eine Frage wie ich an diese Aufgabe ran gehen soll:

Zeigen Sie, dass es ein Element f ∈(R³)* gibt, so dass f(v_i)≠ 0 für alle i gilt. Gibt es immer auch ein f, so dass f(v_i) > 0 gilt für alle i?

Wobei v_1,...,v_n Punkte im R³

Comments

Wie habt ihr denn die Menge (R³)* definiert?

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Das ist der Dualraum von R³ 

Answer 1

Seien die $v_i\neq 0,\; (i=1,\cdots,n)$ die vorgegebenen Punkte im $R^3$.

Zu jedem $v_i$ betrachten wir die Menge $E_i=\{f \in (R^3)^*: \; f(v_i)=0\}$.

Dies ist eine Ebene im Dualraum, und zwar die Ebene aller Linearformen,

die auf $v_i$ verschwinden. Der Schnitt dieser Ebene mit der Einheitssphäre $S$

des Dualraumes nennen wir mal $K_i$. Es handelt sich um einen Großkreis

der Einheitssphäre. Die endlich vielen Großkreise $K_1,\cdots, K_n$

überdecken natürlich nicht die Einheitssphäre, also gibt es einen Vektor

$f \in S\subseteq (R^3)^*$, der in keinem der Großkreise liegt. Nach Konstruktion

ist dann $f(v_1),\cdots,f(v_n)\neq 0$.

Wenn $v_1=e_1, v_2=-e_1$ ist und $f(v_1)\gt 0$ ist,

dann ist $f(v_2)=f(-e_1)=-f(e_1)=-f(v_1)< 0$. Die letzte Aussage trifft also

nicht zu.