zu zeigen : f,g,h bijektiv

Question

hey,

seien A, B, C Mengen und f: -A->B, g: B->C , h: C->A Abbildungen

Zeigen Sie: Wenn die Abbildungen h◦g◦f und g◦f ◦h beide surjektiv sind und die Abbildung f ◦h◦g injektiv ist, dann sind die drei Abbildungen f, g und h sämtlich bijektiv.

1. zz: h◦g◦f  subjektiv

Beweis : h◦g◦f =  (h◦g◦f)(x) = h(g(f(x))) = h(c) =x          für c∈ C und für x∈X

Hätte ich dann somit gezeigt , dass h◦g◦f surjektiv ist oder bin ich völlig daneben gerade?

Bei g◦f ◦h komm ich leider nicht weiter. Aber meine Überlegung :  (g◦f ◦h)(x) = g ( f( h(x)))..... aber ab hier komme ich leider nicht weiter bzw. ich weiß noch nicht einmal, ob ich richtig angefangen habe ?

Kann Bir bitte einer helfen um diese Aufgabe korrekt zu lösen

Comments

1. zz: h◦g◦f  subjektiv

Das ist nicht zu zeigen, sondern eine Voraussetzung.

Du sollst zeigen, dass g, f, h bijektiv sind.

Answer 1

Du musst doch zeigen für jede der Abbildungen f, g, h dass sie bijektiv ist. Und

"die Abbildungen h◦g◦f und g◦f ◦h beide surjektiv sind und die Abbildung f ◦h◦g Injektiv"

ist die Voraussetzung, das darfst (und musst) du also benutzen.

Etwa die Beh:  f ist Injektiv kann man wohl so angehen:

Angenommen f wäre nicht Injektiv, dann gäbe es x,y aus A

mit f(x)=f(y) aber x≠y.

Vermutlich ist das ein Widerspruch zu " f ◦h◦g Injektiv" , aber dazu müsste

man wissen, das x und y auch als Bilder von hog vorkommen.

Dem ist aber so; denn hogof ist ja surjektiv und geht von A nach A, also gibt

es zu jedem u aus A ein v aus A mit ( hogof )(v) = u ,

also insbesondere auch zu x und y.

Die Annahme f wäre nicht injektiv führt also zu einem Widerspruch,

also ist f injektiv.

Jetzt musst du argumentieren, warum f surjektiv. Wenn du das

hast ist " f bijektiv" bewiesen.

Dann musst du das noch für g und h machen.

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Danke dir sehr !