Der Abstand d zweier Punkte A ( a1 | a2 | a3 ) und B ( b1 | b2 | b3 ) ist gegeben durch die Formel:
d ( A , B ) = √ ( ( a1 - b1 ) 2 + ( a2 - b2 ) 2 + ( a3 - b3 ) 2 )
Die Punkte R der Geraden r werden beschrieben durch
R ( - t | - 3 + t | 2 + 2 t )
Gesucht ist nun also ein Wert des Parameters t der Geraden r , sodass gilt:
d ( R , P ) = d ( R , Q )
<=> √ ( ( r1 - p1 ) 2 + ( r2 - p2 ) 2 + ( r3 - p3 ) 2 ) = √ ( ( r1 - q1 ) 2 + ( r2 - q2 ) 2 + ( r3 - q3 ) 2 )
<=> ( r1 - p1 ) 2 + ( r2 - p2 ) 2 + ( r3 - p3 ) 2 = ( r1 - q1 ) 2 + ( r2 - q2 ) 2 + ( r3 - q3 ) 2
Einsetzen der bekannten Koordinaten:
<=> ( - t - 3 ) 2 + ( - 3 + t - 4 ) 2 + ( 2 + 2 t - 0 ) 2 = ( - t - 1 ) 2 + ( - 3 + t - 4 ) 2 + ( 2 + 2 t - 2 ) 2
<=> t 2 + 6 t + 9 + t 2 + 14 t + 49 + 4 t 2 + 8 t + 4 = t 2 + 2 t + 1 + t 2 + 14 t + 49 + 4 t 2
<=> 6 t 2 + 28 t + 62 = 6 t 2 + 16 t + 50
<=> 12 t = - 12
<=> t = - 1
Einsetzen in die oben fett gesetzte Darstellung der Punkte der Geraden (siehe oben, fett gesetzt) :
R ( - t | - 3 + t | 2 + 2 t )
= R ( - ( - 1 ) | - 3 + ( - 1 ) | 2 + 2 * ( - 1 ) )
= R ( 1 | - 4 | 0 )
R ist der gesuchte Punkt. Er liegt auf der Geraden r und hat von P den gleichen Abstand wie von Q.
