Berechnen Sie, wie groß der Winkel zwischen Mast und Hang ist (Analytische Geometrie)

Question

Aufgabe:

Ein Hang liegt in einer Ebene, die in einem Koordinatensystem mit der Einheit m durch die Koordinatenform  E: 3x+4y+6z=12 beschrieben werden kann. Im Punkt (2/-3/3) des Hangs steht ein 3m hoher Mast.

a) Berechnen Sie, wie groß der Winkel zwischen Mast und Hang ist.

b) Am frühen Vormittag fallen die Sonnenstrahlen in Richtung des Vektors u(-4 / 6 / -5) auf den Hang. Berechnen Sie die Länge des Schattens, den der Mast wirft. Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf den Hang?

Ansatz

a) ich würde einfach den Normalenvektor der Ebene n=(3/4/6) und einen Richtungsvektor für den Mast bestimmen. Für den Richtungsvektor hätte ich jetzt die Vermutung als Richtungsvektor (0/0/1), da sie meiner Meinung nach parallel zur x3/x2 Ebenen verläuft . Dann halt übliches Prinzip mit Sinus,...

b) Vielleicht dazu das Kreuzprodukt zwischen u und n berechnen und dann wüsste ich auch nicht mehr.

Comments

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/708445/schattenlange-mit-vektor

Answer 1

da sie meiner Meinung nach parallel zur x3/x2 Ebenen verläuft

Das macht der Vektor (0/1/1) auch.

Aber der Mast steht vermutlich senkrecht auf der x1/x2 Ebene. Deshalb (0/0/1).

Berechnen Sie die Länge des Schattens, den der Mast wirft.

Berechne den Schnittpunkt \(S\) des Hangs mit der Geraden

        \(\vec x = \begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}-4\\6\\-5\end{pmatrix}\).

Berechne dann \(\left|\vec{OS} - \begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}\right|\).

Unter welchem Winkel treffen die Sonnenstrahlen auf den Hang?

Wie a), nur mit anderen Vektoren, nähmlich n und u.

Comments

Danke verstehe ich sehr gut.

Aber:

1.) Warum rechnet man bei der Gerade (Was ist das für eine Gerade, die des Schattens) + (0/0/3), wegen der Höhe des Mastes von 3 Meter?

2.)Wozu muss ich den Ortsvektor von S mit dem Punkt des Hangs subtrahieren

Hab jetzt erstmal so gerechnet und habe als Schnittpunkt (-2/3/1) raus und als Länge 7m .

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+ (0/0/3), wegen der Höhe des Mastes von 3 Meter?

Ja.

Das ist die Gerade des Lichstrahls, der auf die Spitze des Mastes trifft.

Wozu muss ich den Ortsvektor von S mit dem Punkt des Hangs subtrahieren

Das ist der Vektor vom Fuß des Schattens bis zur Spitze des Schattens.

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ich habe auch eine weitere Teilaufgabe:

Einige Zeit später liegt die Spitze des Schattens im Punkt R(-1/0/2,5) des Hangs. Wie Lang ist der Schatten jetzt? Um wie viel Grad ist der gewandert?

Ansatz:

Also muss ich jetzt einfach den Ortsvektor von S mit dem Punkt R subtrahieren und dann halt das übliche Prinzip?

Und beim Winkel hätte ich spontan auch nicht ganz den Plan...