Hallo,
die Frage nach 'welche Formel?' ist immer die falsche Frage. Die ersten 5 Folgeglieder sollten doch kein Probelm sein.$$a_n = -\frac 13,\, 0,\, \frac 17,\, \frac 29,\, \frac 3{11},\, \frac 4{13}, \dots$$ (sind sogar sechs).
Untersuchen Sie die Folge auf Monotonie.
Auch hier nicht nach der Formel fragen, sondern fragen; was ist Monotonie?
Def.: Monotonie: Die Folge ist streng monoton steigend, wenn jedes Folgeelement \(a_{n+1}\) größer ist als sein Vorgänger \(a_n\).
Das gilt es zu prüfen:
\( \begin{aligned} a_{n+1} &>a_{n} \\ \frac{(n+1)-2}{1+2(n+1)} &>\frac{n-2}{1+2 n} \\(n-1)(1+2 n) &>(n-2)(2 n+3) \\ 2 n^{2}-n-1 &>2 n^{2}-n-6 \\-1 &>-6 \end{aligned} \)
das stimmt, also ist die Folge streng monoton steigend.
Bestimmen, falls es existiert, eine untere Schranke bzw. eine obere
Da die Folge streng monoton steigend ist, kann es eine obere Schranke geben. Eine obere Schranke ist ein Wert, der nicht erreicht wird, aber dem die Folgeglieder beliebig nahe kommen können. Wie rechnet man das? Die Folge steigt ständig an, aber was passiert bei sehr großen Werten von \(n\)? Fomal würde man versuchen, folgenen Ausdruck zu interpretieren$$\lim_{n \to \infty} \frac{n-2}{1+2 n} = \, ?$$ Wenn das \(n\) im Zähler \(n-2\) gegen sehr große (unendlich große) Werte strebt, dann spielt das \(-2\) keine Rolle mehr. Genauso ist es beim Nenner \(1+2n\) - ob ich bei einem \(n\) von z.B.; \(n=1000000\) mit \(2n=200000\) noch \(1\) addiere oder nicht, ist (fast) egal. Wenn ich also beides weglasse, steht dort $$\lim_{n \to \infty} \frac{n-2}{1+2 n} = \frac {n}{2n} = \frac 12$$ wenn man es 'richtig' machen möchte, formt man den Ausdruck so um, dass Ausdrücke wie \(1 - \frac 2n\) entstehen, wobei das \(\frac 2n\) mit \(n \to \infty\) dann zu \(0\) wird. Hier kürzt man den Bruch schlicht durch \(n\)
\( \begin{aligned} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{n-2}{1+2 n} &=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n}+2} \\ &=\frac{1-0}{0+2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned} \)
Gruß Werner
