Grenzwert der Wurzelfunktion f(x): = √(x + a)·√(x + b) − x für x gegen unendlich?

Question

Ich muss den Grenzwert der Wurzelfunktion f(x): = √(x + a)·√(x + b)  − x  für x gegen unendlich bestimmen und komme nicht weiter.

Als erstes hab ich probiert den Ausdruck auszuklammern nach x:  x√(1 + a/x)·√(1 + b/x)  − 1

Dadurch sieht man ja dass a/x und b/x gegen 0 verlaufen und demnach steht dort x*0. (Wurzel von 1* Wurzel von 1 -1 ergeben ja auch null)

Durch eine Wertetabelle hab ich aber herausbekommen, dass der Grenzwert meines Erachtens nach (a+b)/2 sein muss. Wie komme ich darauf?

Answer 1

Erweitere mit √(x + a)·√(x + b)  + x

Comments

Hab ich auch schon probiert, aber da kam nur schrott raus. Kannst du mir das vorrechnen? Wäre super lieb. Hab erweitert und dann konnte man ja es in a^2 - b^2 umformen aber naja...

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1. Möchtest du deine Rechnung zeigen? Nach dem Erweitern ist auch ein Nenner (≠1) vorhanden. Oder?

2. Ausserdem:

Du meintest bestimmt Funktion und nicht Folge.

Zudem habe ich den blauen Teil in

Grenzwert der Wurzelfunktion f(x): = √(x + a)·√(x + b)  − x  für x gegen unendlich

ergänzt.

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Wenn man erweitert steht dort:

\( \frac{((√x+a)*(√x+b)-x) * ((√x+a)*(√x+b)+x)}{ ((√x+a)*(√x+b)+x)} \)

und das kann man glaub ich auch so vereinfachen:

\( \frac{(x+a)*(x+b)-x }{ ((√x+a)*(√x+b)+x)} \)

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"hoch 2" und einige Klammern vergessen?

\( \frac{(x+a)*(x+b)-x^2 }{ ((√(x+a))*(√(x+b))+x)} \)

Nun Zähler und Nenner separat vereinfachen. Bringt das nichts?

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Ja ich hab es einfach falsch abgeschrieben von meinem Blatt. Vereinfachen hab ich ja schon versucht aber kam zu nichts

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Vereinfachen liefert:

$$\frac{(a+b)x+ab}{\sqrt {x+a}\sqrt{x+b}+x} =\frac {a+b+\frac{ab}{x}}{\sqrt{1+\frac{a}{x}}\sqrt{1+\frac{b}{x}}+1} \to \frac{a+b}{2}$$

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danke dir, das kann ich jetzt gut nachvollziehen :D

Schönen Abend euch noch