Aloha :)
Die Ebene mit den Punkten ABC hat die Koordinatenform: \(E:\;-4x_1-3x_2+31x_3=6\)
In \(E\) liegt weder der Punkt \(D\) noch der Punkt \(S\). Das Volumen ABCDS ist also gar keine Pyramide mit 4-eckiger Grundfläche. Daher erhalten dein Lehrer und du unterschideliche Ergebnisse.
Wäre die vorgegebene Pyramide aber eine solche, könnte ich dein Ergebnis bestätigen, indem ich die 4-eckige Grundfläche in 2 dreieckige Grundflächen aufteilen würde ;)
Pyramide ADCS: \(\overrightarrow{DA}=(4|3|1)\quad;\quad\overrightarrow{DC}=(-3|2|0)\quad;\quad\overrightarrow{DS}=(0|3|4)\)
Pyramide ABCS: \(\overrightarrow{BA}=(3|-4|0)\quad;\quad\overrightarrow{BC}=(-4|-5|-1)\quad;\quad\overrightarrow{BS}=(-1|-4|3)\)
Das Volumen beider Pyramiden zusammen ist nun:$$V=\left|\frac{1}{6}\left|\begin{array}{r}4 & 3 & 1\\-3 & 2 & 0\\0 & 3 & 4\end{array}\right|\right|+\left|\frac{1}{6}\left|\begin{array}{r}3 & -4 & 0\\-4 & -5 & -1\\-1 & -4 & 3\end{array}\right|\right|=\frac{59}{6}+\frac{109}{6}=28$$