Vektorraum der Polynome

Question

Es sei P (4) R (reelle Zahl) der Vektorraum der Polynome vom höchstens 4. Grad. Es seien qi Elemente von P(4) gegeben durch

q1(x) = x^4 +x^3 +x^2 +x+1

q2 (x) = x^3

q3 (x) = x-1

Ergänzen sie q1,q2,q3 zu einer Basis von P(4); d.h. finden sie q4 ,q5 Element von P(4), so dass q1,q2,q3,q4,q5 eine Basis von P(4) bildet

Answer 1

Das geht jedenfalls, da die 3 linear unabhängig sind.

Du brauchst  nun noch 2 weitere, damit du jedes Polynom

durch Linearkombination von den 5en dann erzeugen

kannst.

Das geht sicher dann, wenn du x^4 und  x^3 und x^2 und x und 1

damit erzeugen kannst.

Aus den gegebenen das x^4 zu erzeugen geht nicht ganz,

aber ungefähr

q1 - q2 - q3 = x^4 + x^2 + 2

wenn du jetzt noch x^2 + 2 als q4 dazu nimmst,

hast du jedenfalls

x^4 = q1 - q2 - q3  - q4   und

x^3 = q2

Bei x^2 klappt es wieder nicht so ganz, man hat

q4 = x^2 + 2  . Aber wird brauchen ja noch ein q5 und

nehmen da am besten   q5=1

Dann klappt  x^2 = q4 -2*q5

und auch der Rest  x = q3+q5

und 1 = q5.

Also kannst du mit den 5en alle erzeugen und hast somit

ein Erzeugendensystem von P4(ℝ) und weil es

5 Stück sind ist es eine Basis von P4(ℝ).

Comments

Danke für deine Antwort:) in der Aufgabe steht außerdem noch, dass man mit Beweis zeigen soll, dass es sich um eine Basis handelt.

---

Wenn ihr schon wisst, dass P4 die Dimension 5 hat, kannst du sagen:

Jedes Erzeugendensystem mit 5 Elementen ist in einem

5-dimensionalen Vektorraum eine Basis.

Wenn ihr das an Theorie (noch) nicht hattet musst du noch zeigen,

dass die 5 erzeugenden Polynome lin. unabh. sind.

Answer 2

Aloha :)

Mit den Basisvektoren$$E=\left(\;\begin{pmatrix}x^4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}0\\x^3\\0\\0\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\x^2\\0\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\x\\0\end{pmatrix}\;;\;\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\1\end{pmatrix}\;\right)$$kann jedes Polynom 4-ten Grades als Vektor dargestellt werden:$$p(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=(a,b,c,d,e)^T$$Insbesondere lassen sich die 3 vorgegebenen Polynome \(q_1,q_2,q_3\) als Spaltenvektoren schreiben, die wir direkt in eine Matrix eintragen:

$$\left(\begin{array}{r}q_1 & q_2 & q_3 & q_4 & q_5\\\hline1 & 0 & 0 & . & .\\1 & 1 & 0 & . & .\\1 & 0 & 0 & . & .\\1 & 0 & 1 & . & .\\1 & 0 & -1 & . & .\end{array}\right)\quad\to\quad\left(\begin{array}{r}q_1 & q_2 & q_3 & q_4 & q_5\\\hline1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)$$Wenn die Spaltenvektoren dieser Matrix ebenfalls eine Basis von \(P(4)\) bilden sollen, müssen wir die fehlenden Spalten \(q_4\) und \(q_5\) so ergänzen, dass sich alle Basispolynome aus \(E\) durch eine Linearkombination der \(q_i\) ausdrücken lassen. Betrachten wir Zeile 1 und Zeile 3 stellen wir fest, dass sie gleich sind. Die \(x^4\)-Koordinate und die \(x^2\)-Koordinate lassen sich daher nicht unabhängig voneinander ändern. Es ist daher geschickt, \(q_4(x)=x^4\) zu wählen. In den letzten beiden Zeilen ist eine Kopplung zwischen der \(x\)-Koordiante und der \(1\)-Koordinate enthalten, die noch aufgelöst werden muss. Das geht z.B. durch die Wahl \(q_5(x)=1\). Die so erhaltene Basis ist rechts oben in Form von Spalten innerhalb einer Matrix abgebildet.

Zum Beleg, dass diese Vektoren / Polynome tatsächlich eine Basis bilden, prüfen wir durch elementare Spaltenumformungen, ob wir tatsächlich alle Basisvektoren von \(E\) mit der Basis \(Q\) darstellen können:

$$\left(\begin{array}{r}-S_2-S_4-S_5 &  & +S_5 & & \\\hline1 & 0 & 0 & 1 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 0\\1 & 0 & -1 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} -S_3&  & & & \\\hline0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{r} e_3& e_2 & e_4 & e_1 & e_5\\\hline0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Die Polynome \(q_4(x)=x^4\) und \(q_5(x)=1\) ergänzen daher die Polynome \(q_1,q_2,q_3\) zu einer Basis des \(P(4)\).