analysis Funktion Intervall

Question

Wie löse ich die Aufgabe b)?

7 Die Funktion V mit V(t) = - \( t^{3}+22 t^{2}(0 \leq t \leq 14) \) beschreibt näherungsweise die Produltion von Sauerstoff bei der Fotosynthese eines Baumes an einem bestimmen Tag von 6 bis 20 Unre (t ist die seit 6 Uhr morgens vergangene Zeit in h und V (t) gibt an, wie viel liter saurstoff der Baum bis zum Zeitpunkt t insgesamt produziert hat).

b) Begründen Sie, warum der Graph von V im betrachteten Intervall keine Extrempunke besitzt

Answer 1

Schon mal an erste Ableitung gedacht?

Answer 2

Aloha :)

Die Behauptung, dass die Funktion im Intervall \(0\le t\le 14\) keine Extrempunkt besitzt, ist falsch. An den Rändern \(t=0\) und \(t=14\) liegen Extrempunkte. Diese kann man mit den Mitteln der Differentialrechnung nur nicht bestimmen, weil die Funktion nur im Intervall \(]0|14[\) differenzierbar ist.

Bei einem Extrempunkt im Intervall \(0<t<14\) müsste darin die Ableitung von \(f(t)=-t^3+22t^2\) gleich \(0\) werden:$$0\stackrel{?}{=}f'(t)=-3t^2+44t=-3t\left(t-\frac{44}{3}\right)\quad\Rightarrow\quad t=\frac{44}{3}=14,\overline6\;\not\in\;]0|14[$$Innterhalb des offenen Intervalls \(]0|14[\) hat die Funktion keine Extrempunkte.

~plot~ -x^3+22x^2 ; [[-0,50|15|-10|1600]] ~plot~

Answer 3

Wenn es um die Sauerstoffproduktion geht, kann es ja nur monoton steigend sein,

denn die Menge des bis zum Zeitpunkt t produzierten Sauerstoffs kann nur zunehmen

oder allenfalls konstant bleiben.

Deshalb gibt es bei Beobachtungsbeginn das absolute Minimum

und am Ende das absolute Maximum.