Zeigen, ob a x b schiefsymmetrisch ist

Question

Gegeben seien zwei Vektoren \( a, b \in \mathbb{R}^{3} \). Das Kreuzprodukt ist definiert als

$$ a \times b:=\left(\begin{array}{l} a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \end{array}\right) $$
Zeigen Sie, dass das Kreuzprodukt schiefsymmetrisch ist.

Mein Ansatz ist:
Sei \( a=(a_1, a_2, a_3) \) und \( b=(b_1, b_2, b_3), \) , dann ist das Kreuzprodukt a \( \times \mathrm {b} \) gegeben durch:
$$ a \times b=\operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc}\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{array}\right] $$

Wenn man also a und b austauscht, tauscht man die zweite und dritte Reihe der obigen Matrix aus, was in einem Vorzeichenwechsel gipfelt. Dies beweist, dass das Kreuzprodukt schiefsymmetrisch ist.

Comments

Dann kann man doch einfach bei dem in der Definition gegebenen

Vektor axb  -1  ausklammern und erhält  - bxa

---

in dieser aufgabe erhält man 10 punkte, meinst du, dass dein vorschlag ausreichen würde?

Answer 1

Aloha :)

Dein Gedanke ist sehr gut. Allerdings ist diese Schreibweise mit der Determinante nur symbolischer Natur. Für jeden Physiker ist das ein toller Nachweis. Es kann aber sein, ja es ist sogar erwartbar, dass Mathematik-Puristen das nicht als Lösung anerkennen. Daher würde ich auf Nummer sicher gehen:$$\vec a \times \vec b:=\left(\begin{array}{l} a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \end{array}\right)=-\left(\begin{array}{l} b_2a_3-b_3a_2 \\ b_3a_1-b_1a_3\\ b_1a_2-b_2a_1 \end{array}\right)=-\vec b\times\vec a $$

Answer 2

Im Prinzip hast du recht. Ob das als Lösung reicht, weiß ich nicht. Du könntest die Determinante eventuell noch ausführlich hinschreiben und zeigen, dass sich das Vorzeichen umkehrt.