Matrizen problem LGS lösen

Question

Hallo. Warum klappt das mit der Matrix nicht ?

Aufgabe:

(a) Von einem Arithmogon sind lediglich die Zahlen in den Rechtecken bekannt:

 

Ermitteln Sie alle Möglichkeiten für die Eckzahlen \( w, x, y \) und \( z \)

Text erkannt:

(b) Wir betrachten nun den allgemeinen Fall: Von einem Arithmogon sind nur die Zahlen \( a, b, c \) und \( d \) in den Rechtecken bekannt (diese Zahlen müssen nicht notwendigerweise voneinander verschieden sein \( ), \) während man nichts näheres über die Eckzahlen weiß.

Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf und ermitteln Sie, in welchem Fall es keine Lösung, genau eine Lösung bzw. unendlich viele Lösungen gibt. Geben Sie jeweils die Lösungsmenge explizit an.

 

Answer 1

Forme die Matrix in Zeilenstufenform um.

\(\begin{aligned} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 18\\1 & 0 & 1 & 0 & 23\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 1 & 0 & 1 & 47\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{II}-\text{I}}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 18\\0 & -1 & 1 & 0 & 5\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 1 & 0 & 1 & 47\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{IV}+\text{II}}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 18\\0 & -1 & 1 & 0 & 5\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{IV}-\text{III}}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 18\\0 & -1 & 1 & 0 & 5\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{II}-\text{III}}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 18\\0 & -1 & 0 & -1 & -47\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{I}+\text{II}}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & -29\\0 & -1 & 0 & -1 & -47\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\\\stackrel{\text{II}\cdot\left(-1\right)}{\leadsto} & \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & -1 & -29\\0 & 1 & 0 & 1 & 47\\0 & 0 & 1 & 1 & 52\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Answer 2

1     1     0    0     18
1     0     1     0     23
0     0     1     1     52
0     1     0     1     47

Jetzt erst mal die 2. Zeile minus die erste,

damit in der 1. Spalte unterhalb der 1. Zeile

 nur =en sind.

1     1     0    0     18
0     -1     1     0     5
0     0     1     1     52
0     1     0     1     47

Dann die 4. plus die zweite, damit in der 2. Spalte unterhalb der
ersten Zeile nur 0en sind

1     1     0    0     18
0     -1     1     0     5
0     0     1     1     52
0     0     1     1     52

Jetzt entsprechend weiter in der 3. Spalte

dürfen unterhalb der 3. Zeile nur 0en sein,

also 4. Zeile minus 3.

1     1     0    0     18
0     -1     1     0     5
0     0     1     1     52
0     0     0      0      0

Und hier siehst du, dass die

letzte Gleichung immer stimmt. Du kannst also

für z irgendeinen Wert nehmen.

Comments

Können Sie die konkreten Lösungen sagen?