Aloha :)
Das charakteristische Polynom \(\chi(x)\) von \(\mathbf{H}\) liefert für \(x=\mathbf H\) die Null-Matrix:$$\chi(\lambda)=\left|\begin{array}{r}4-\lambda & -4 & 4\\1 & 0-\lambda & 2\\0 & 0 & 2-\lambda\end{array}\right|=(2-\lambda)\left|\begin{array}{r}4-\lambda & -4\\1 & -\lambda\end{array}\right|$$$$\phantom{\chi(\lambda)}=(2-\lambda)\left[(4-\lambda)(-\lambda)+4\right]=(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+4)$$$$\phantom{\chi(\lambda)}=(2-\lambda)(\lambda-2)^2=(2-\lambda)^3$$Damit lauten die Antwort auf Frage 1:$$\underline{f_1(x)=(2-x)^3=-x^3+6x^2-12x+8}$$
Frage 2 kriegen wir in den Griff, weil wir wissen, dass das Minimalpolynom und das charakteristische Polynom dieselben Nullstellen haben. Da das Polynom \(p(x)=(2-x)\) für \(x=\mathbf H\) sicher nicht \(\mathbf 0\) wird, ist das gesuchte Polynom wahrscheinlich das quadratische. Natürlich müssen wir das prüfen:$$(\mathbf2-\mathbf H)^2=\left[\left(\begin{array}{r}2 & 0 & 0\\0 & 2 & 0\\0 & 0 & 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}4 & -4 & 4\\1 & 0 & 2\\0 & 0 & 2\end{array}\right)\right]^2=\left(\begin{array}{r}-2 & 4 & -4\\-1 & 2 & -2\\0 & 0 & 0\end{array}\right)^2=\mathbf0$$Damit haben wir das Minimalpolynom gefunden:$$\underline{f_2(x)=(2-x)^2=(x-2)^2}$$
Jetzt fehlt uns noch das dritte Polynom, das die Matrix \(\mathbf H\) invertiert. Dazu bauen wir auf \(f_2(x)\). Wir haben ja geprüft, dass \(f_2(\mathbf H)=\mathbf 0\) gilt:$$\left.f_2(\mathbf H)=\mathbf0\quad\right|\;f_2(x)\text{ einsetzen}$$$$\left.\mathbf H^2-2\mathbf H+\mathbf4=0\quad\right|\;-\mathbf4$$$$\left.\mathbf H^2-2\mathbf H=-\mathbf4\quad\right|\;\cdot(-\frac{1}{4})$$$$\left.\frac{1}{2}\mathbf H-\frac{1}{4}\mathbf H^2=\mathbf1\quad\right|\;\mathbf H\text{ ausklammern}$$$$\left.\mathbf H\left(\frac{1}{2}\mathbf1-\frac{1}{4}\mathbf H\right)=\mathbf1\quad\right.$$Wegen \(\mathbf H\mathbf H^{-1}=\mathbf 1\) muss \(\mathbf H^{-1}=\frac{1}{2}\mathbf1-\frac{1}{4}\mathbf H\) sein. Das dritte gesuchte Polynom ist daher:$$\underline{f_3(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}x}$$
