Grenzwert berechnen - Analysis

Question

Konvergiert die Reihe? Was ist der Grenzwert der folgende Reihe:

\( \sum \limits_{k=2}^{\infty} \ln \left(1-\frac{1}{k}\right) \)

Hinweis:

\( \ln \left(\frac{x}{y}\right)=\ln (x)-\ln (y) \)

.

Answer 1

Aloha :)$$a_k:=\ln\left(1-\frac{1}{k}\right)=\ln\left(\frac{k-1}{k}\right)=\ln(k-1)-\ln k$$$$s_n:=\sum\limits_{k=2}^na_k=\sum\limits_{k=2}^n\left(\ln(k-1)-\ln k\right)=\sum\limits_{k=2}^n\ln(k-1)-\sum\limits_{k=2}^n\ln k$$$$\phantom{s_n}=\sum\limits_{k=1}^{n-1}\ln k-\sum\limits_{k=2}^n\ln k=\ln 1-\ln n=-\ln n$$Die Reihe divergiert gegen \(-\infty\)

Comments

Oder \(-\infty\).

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Warum + unendlich ? wenn die Reihe gegen ins minus unendliche geht?

Answer 2

Hallo Miho,

das wird eine sogenannte Teleskopsumme, weil sie sich wie ein (Auszieh-)Teleskop auf zwei Summanden zusammen ziehen lässt $$\begin{aligned} \sum_{k=2}^{\infty} \ln\left(1 - \frac 1k \right)   &= \sum_{k=2}^{\infty} \ln\left(\frac {k-1}k \right) \\ &=  \sum_{k=2}^{\infty} \ln(k-1) - \ln(k)  \\&= \underbrace{\ln(1) - \ln(2)}_{k=2} + \underbrace{\ln(2) - \ln(3)}_{k=3} +  \underbrace{\ln(3) - \ln(4)}_{k=4} + \dots \\&= \ln(1) - \lim_{j \to \infty} \ln(j)  \\& \to 0 - \infty \end{aligned}$$Die Reihe geht gegen minus unendlich.

Gruß Werner