Sei V = Abb. (ℤ, ℚ) der ℚ-Vektorraum der Abbildungen auf ℤ. ...

Question

Da ich Mathematik studiere und mich derzeit mit der Linearen Algebra I beschäftige, habe ich eine Frage zu einer Aufgabe auf meinem Übungsblatt, bei der ich leider nicht so recht weiter weiß:

Sei V = Abb. (ℤ, ℚ) der ℚ-Vektorraum der Abbildungen auf ℤ.

(1) Geben Sie ein Tupel (v_i)_i∈ℕ von linear unabhängigen Vektoren v_i ∈ V an.

(2) Ist für Ihr Tupel aus (1) die lineare Hülle ⟨v_i   ; i∈ℕ⟩_ℚ gleich V?

Ansatz:

Ich dachte bei der (1) bereits an die Einheitsvektoren des ℝⁿ, aber das ist sicherlich zu kurz und simpel gedacht. Mich verwirrt die Ausgangssituation mit dem "Wechsel" der Zahlenräume etwas. Frage (2) könnte man aber bestimmt mit "Ja" beantworten, wenn man bei (1) ein Tupel findet, dass eine Basis von V bildet.

Answer 1

Die Einheitsvektoren von R^n musst du an die

Situation anpassen:   Für i ∈ Z  definiere:

   v_i : ℤ --> ℚ ; v_i(x) = i/2 , falls x=i und x gerade  
                               =   0   sonst

und    vi : ℤ --> ℚ ; vi(x) = (i+1)/2 , falls x=i und x ungerade
                                      =   0   sonst

Dann ist die lineare Hülle natürlich nicht gleich V, denn alle haben

ja für negatives x nur den Wert 0.

Comments

Vielen lieben Dank für deine Antwort. :)

Eine kurze Frage noch dazu:

Warum genau wird negativen x-Werten immer die 0 zugeordnet?

Ignis_Infernalis