Hallo,
\( (U_1 + U_2)^⊥ = U_1^⊥ ∩ U_2^⊥ \) zeigt man, indem man \( (U_1 + U_2)^⊥ ⊂ U_1^⊥ ∩ U_2^⊥ \) und \( (U_1 + U_2)^⊥ ⊃ U_1^⊥ ∩ U_2^⊥\) zeigt.
Auf die gleiche Weise zeigt man \( (U_1 ∩ U_2)^⊥ = U_1^⊥ + U_2^⊥ \), nämlich indem man \( (U_1 ∩ U_2)^⊥ ⊂ U_1^⊥ + U_2^⊥ \) und \( (U_1 ∩ U_2)^⊥ ⊃ U_1^⊥ + U_2^⊥ \) zeigt.
Für den ersten Fall geht das so: Sei \( u = u_1 + u_2 \in U_1 + U_2 \). Für \( u^⊥ \in (U_1 + U_2)^⊥ \) ist \( \langle u_1, u^⊥ \rangle = 0 \) und \( \langle u_2, u^⊥ \rangle = 0 \), da \( u_1 \in U_1 \subset U_1 + U_2 \) und \( u_2 \in U_2 \subset U_1 + U_2 \) gilt. Also ist \( u^⊥ \in U_1^⊥ \cap U_2^⊥ \).
Sei umgekehrt \( u^⊥ \in U_1^⊥ \cap U_2^⊥ \), das heißt \( \langle u_1, u^⊥ \rangle = 0 \) und \( \langle u_2, u^⊥ \rangle = 0 \) für alle \( u_1 \in U_1 \) und \( u_2 \in U_2 \). Dann ist insbesondere \( \langle u_1 + u_2, u^⊥ \rangle = \langle u_1, u^⊥ \rangle + \langle u_2, u^⊥ \rangle = 0 \) für alle \( u_1 \in U_1 \) und \( u_2 \in U_2 \). Das aber bedeutet \( u^⊥ \in (U_1 + U_2)^⊥ \).
Der zweite Fall folgt aus dem ersten, indem man die Ersetzungen \( U_1 \leftrightarrow U_1^⊥ \) und \( U_2 \leftrightarrow U_2^⊥ \) vornimmt und die allgemeine Regel \( (V^⊥)^⊥ = V \) nutzt. Wenn diese noch nicht vorliegt, muss man sie zusätzlich über \( (V^⊥)^⊥ \subset V \) und \( (V^⊥)^⊥ \supset V \) beweisen.
Grüße
Mister
