Integration von Brüchen lösen

Question

Kann mir jemand diese ausrechnen und erklären? (Ich verstehe Brüche beim integrieren nämlich gar nicht)

a) f(x)= 1/(2x+1)² dx

b) f(x)= x/x²-8 dx

c) f(x)= (2e²^x -4/x²) dx

Answer 1

Aloha :)

a) Hier kannst du einfach über \((2x+1)\) integrieren:$$\int\frac{1}{(2x+1)^2}dx=\int\frac{1}{(2x+1)^2}\frac{1}{2}d(2x+1)=-\frac{1}{2(2x+1)}+\text{const}$$

b) Das Integral ist vom Typ \(\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|\)$$\int\frac{x}{x^2-8}dx=\int\frac{1}{2}\frac{2x}{x^2-8}dx=\frac{1}{2}\ln|x^2-8|+\text{const}$$

c) Für die e-Funktion brauchst du quasi die Kettenregel der Ableitung rückwärts.$$\int\left(2e^{2x}-\frac{4}{x^2}\right)dx=\int\left(2e^{2x}-4x^{-2}\right)dx=e^{2x}+4x^{-1}=e^{2x}+\frac{4}{x}+\text{const}$$

Answer 2

Es kann helfen, wenn du dir zunächst ansiehst wie eine Ableitung aussieht.

f(x) = 1 / (2x + 1)^2

Wie würdest du es ableiten? Umschreiben

f(x) = (2x + 1)^{-2}

und jetzt über die Kettenregel

f'(x) = -4 * (2x + 1)^{-3}

Dann kann man auch eine Integration über die Umkehrung der Kettenregel probieren

F(x) = -1/2 * (2x + 1)^{-1}

Comments

f(x) = x / (x^2 - 8)

Wir sorgen mal dafür das die Innere Ableitung außerhalb steht

f(x) = 1/2 * 2x / (x^2 - 8)

Jetzt über die Umkehrung der Kettenregel

F(x) = 1/2 * ln(|x^2 - 8|)

Answer 3

(1)  ∫ [1/(2x+1)²]dx also ∫f(x)dx=∫[(2x+1)^-2]dx. Setze (2) 2x+1 =u dann ist du/dx=2 und (3) dx=du/2. Setze (2) und (3) in (1) ein:

∫f(x)dx=∫(u^-2)du/2=-(u^-1/2). Resubtitution -(2x+1)^-1/2.

∫f(x)dx=-1/(2(2x+1).