Verwendung der Vektoren: Parallelogram

Question

Angabe:

Parallelogram: A(5/1/2), B(2/5/1), C(1/6/0)

Berechne D, α, Fläche

Answer 1

\( \vec{AB} \) =\( \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \).

Von C aus in die Gegenrichtung von \( \vec{AB} \):

\( \begin{pmatrix} 1\\6\\0 \end{pmatrix} \) -\( \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} -2\\10\\-1 \end{pmatrix} \)

D(-2|10|-1). Fläche=\( \vec{BA} \) ×\( \vec{BC} \).

Comments

Ist \( \vec{AB} \) wirklich \( \begin{pmatrix} 3\\-4\\1 \end{pmatrix} \)? Ich hab für \( \vec{AB} \) nämlich \( \begin{pmatrix} -3\\4\\-1 \end{pmatrix} \), also ich hab das andersrum subtrahiert. Spielt das eine Rolle?

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\( \vec{AB} \) ist der Vektor mit Start A und Ziel B.

Merkregel: Ziel minus Start.

Da kannst natürlich deinen Vektor addieren statt meinen zu subtrahieren.

Answer 2

Aloha :)

Die Benennung der Punkte verläuft entgegen des Uhrzeigersinns, daher ist

$$\vec d=\vec c+\overrightarrow{BA}=\vec c+\vec a-\vec b=\begin{pmatrix}1+5-2\\6+1-5\\0+2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}$$Der fehlende Punkt ist also \(D(4|2|1)\).

Die Fläche ist gleich dem Betrag des Vektorproduktes der aufspannenden Vektoren:

$$F=\left\|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}2-5\\5-1\\1-2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4-5\\2-1\\1-2\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-3\\4\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\right\|$$$$\phantom{F}=\left\|\begin{pmatrix}-4+1\\1-3\\-3+4\end{pmatrix}\right\|=\left\|\begin{pmatrix}-3\\-2\\1\end{pmatrix}\right\|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$$

Der Winkel \(\alpha\) ist:$$\alpha=\arccos\left(\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}}{\left\||\overrightarrow{AB}\right\|\cdot\left\|\overrightarrow{AD}\right\|}\right)=\arccos\left(\frac{8}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{3}}\right)\approx25,0658^o$$