Funktionen von R gerade und ungerade

Question

Sei \( V_{\mathbb{R}} \) der Vektorraum aller Funktionen von \( \mathbb{R} \) nach
R. Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt gerade, falls \( f(x)=f(-x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) gilt. \( f \) heißt ungerade, falls \( f(-x)=-f(x) \) für alle \( x \in \mathbb{R} \) ist. Wir setzen
\( G:=\left\{f \in V_{\mathbb{R}}: f \text { ist gerade }\right\} \quad \) und \( \quad U:=\left\{f \in V_{\mathbb{R}}: f \text { ist ungerade }\right\} \)
Zeige, dass \( G \) und \( U \) Unterräume von \( V_{\mathbb{R}} \) sind und dass \( V_{\mathbb{R}}=G \oplus U \) gilt.

Bei dieser Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz, ich verstehe was sich hinter der Aufgabe versteckt, jedoch kann ich es einfach nicht umsetzen.

Schon mal danke im Voraus!!

Answer 1

Du musst also zuerst mal zeigen:

Jede Funktion f : ℝ --> ℝ lässt sich als Summe einer geraden und einer ungeraden

Funktion schreiben.

Betrachte dazu    h : ℝ --> ℝ mit h(x) = ( f(x) + f(-x) ) / 2

und  k : ℝ --> ℝ mit k(x) = ( f(x) - f(-x) ) / 2

dann ist h gerade und k ungerade und die Summe ist f.

Unterräume sind es, denn wenn du zwei gerade Funktionen hast, ist die

Summe auch gerade und  das Vielfache einer geraden Funktion ist auch wieder

gerade. Die Summe ist direkt, weil nur die 0-Funktion gerade und gleichzeitig

ungerade ist.