Lineare Abbildung (R3 wird abgebildet auf P (Vektorraum)

Question

Sei P(r) R(reelle Zahlen) wieder der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad ≤ r.

Gibt es eine lineare Abbildung L:R3 → P(2) R, die gleichzeitig die folgenden 3 Bedingungen erfüllt:

L(1,2,3) = x2−1,

L(0,2,1) = 3x+ 4,

L(−1,0,−2) =x2+x+ 1?

Answer 1

Aloha :)

Für die drei gegebenen Argument-Vektoren gilt:\(\quad\quad(0|2|1)=(1|2|3)+(-1|0|-2)\)

Für eine linearen Funktion \(L\) müsste dann gelten: \(\quad L(0|2|1)=L(1|2|3)+L(-1|0|-2)\)

Wir prüfen das nach:$$L(1|2|3)+L(-1|0|-2)=(x^2-1)+(x^2+x+1)=2x^2+x$$$$L(0|2|1)=3x+4$$$$\Rightarrow\quad L(0|2|1)\ne L(1|2|3)+L(-1|0|-2)$$Eine solche lineare Funktion existiert nicht.

Comments

Danke für deine Antwort, die ist sehr hilfreich. Aber was ich noch nicht ganz verstehe, was das mit der Linearen Abbildung zu tun hat.
Müssen die 3 Bedingungen als Linearkombination geschrieben werden um dann sagen zu können, dass es eine Lineare Abbildung gibt?

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Bei einer linearen Abbildung muss für alle \(x,y\) gelten:$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$Wir haben hier ein Paar \(x,y\) angegeben, das diese Bedingung nicht erfüllt. Daher kann die Abbildung nicht linear sein.

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Ja stimmt danke:)