ln reihe, konvergenz und reihenwert bestimmen

Question

überprüfe die konvergenz der reihe und bestimme ggf. den reihenwert:

ln2/3 - ln3/4 - ln4/5 - ln5/6 - ...

wenn ich die brüche mit den ln rechenregeln in subtraktionen umwandel, ist es ja erst negativ aber wird dann irgendwann positiv, bleibt positiv und wird dann immer größer, weil der ln ja unter 1 bleibt und durch das minus sich im endeffekt alles summiert. kann ich dann einfach schreiben \( \lim\limits_{x\to\infty} \) ln x = ∞ , sprich divergiert oder wie schreib ich das ausführich auf? kann man hier einen reihenwert bestimmen und woran erkenne ich das genau?

Answer 1

Schreibe

ln2/3 - ln3/4 - ln4/5 - ln5/6 - ...

als

ln2/3 - (ln3/4 + ln4/5 + ln5/6 + ...) und wende in der Klammer das Logarithmengesetz

ln a + ln b = ln(a*b) an.

Es gilt auch für mehr als 2 Summanden:

ln a + ln b + ln c= ln(a*b*c) usw.

Comments

also ist meine beschriebene herangehensweise nicht richtig? wohin geht dann der grenzwert dass ich zeigen kann was mit der konvergenz ist? geht doch gegen unendlich oder nicht? und was ist mit dem reihenwert?

Answer 2

Hallo fawick,

.. ist es ja erst negativ aber wird dann irgendwann positiv, bleibt positiv und wird dann immer größer, weil der ln ja unter 1 bleibt ..

Nein - der Wert \(\ln(n/(n+1))\) ist immer negativ, da \(n/(n+1) \lt 1\) ist. Schau Dir folgenden Verlauf an:

~plot~ ln(x);{2/3|ln(2/3)};{3/4|ln(3/4)};{4/5|ln(4/5)};{5/6|ln(5/6)};[[-0.5|2|-1.2|0.5]] ~plot~
Erinnere Dich an die Rechenregeln des Logarithmus $$\ln(a/b)  = \ln(a) - \ln(b)$$Hier ist doch $$\begin{aligned}\sum_{n=2}^{k} -\ln\left( \frac n{n+1}\right) &= -\ln\left(\frac 23\right) - \ln\left(\frac 34\right) - \ln\left(\frac 45\right)- \ln\left(\frac 56\right) - \dots\\ &= -(\ln(2) - \ln(3)) - (\ln(3) - \ln(4)) - (\ln(4) - \ln(5)) - \dots \\ &= -\ln(2) + \ln(k+1)\end{aligned}$$und der Limes $$\lim_{k \to \infty}( -\ln(2) + \ln(k+1) )\to \infty$$geht gegen plus unendlich.

Gruß Werner

Comments

das habe ich eigentlich gemeint :) verstehe nur noch nich ganz woher das minus vor dem ln im summenzeichen kommt. wir starten doch bei plus ln 2/3 in der aufgabe und dann wär das ja doppelt gemoppelt weil der ln 2/3 an sich ja schon negativ ist oder wo ist mei ndenkfehler? und was ist mit dem reihenwert? kann man den berechnen und wenn nicht wieso nicht? vielen dank schonmal :)

---

wir starten doch bei plus ln 2/3 in der aufgabe

Ich hatte einfach mutig angenommen dass Du das erste Minuszeichen einfach unterschlagen hast. Wenn dem nicht so ist, so nimm den ersten Summanden \(\ln(2/3)\) aus der Summe heraus. Es bleibt $$\lim_{k \to \infty} \left( \ln\left( \frac 23 \right) - \sum_{n=3}^k \ln\left( \frac{n}{n+1} \right) \right) \\ \quad =  \lim_{k \to \infty} \left( \ln\left( \frac 23 \right) - \ln(3) + \ln(k+1) \right) \\ \quad \to +\infty$$

... und was ist mit dem reihenwert? kann man den berechnen und wenn nicht wieso nicht?

Ähh! - steht doch in der Antwort. Die Reihe geht gegen plus unendlich. Läuft \(k\) gegen \(\infty\), so geht \(\ln(k)\) oder \(\ln(k+1)\) ebenfalls gegen \(\infty\). Ob man da vorher noch 1000 dazu zählt oder \(\ln(3)\) abzieht, ist gänzlich irrelevant.