f)
f ( x ) = 0,25 x 4 - 3,25 x 2 + 9 = 0
Bringe zunächst den Koeffizienten vor dem x 4 auf den Wert 1, indem du die Gleichung durch 0,25 dividierst oder, was zum gleichen Ergebnis führt, mit 4 multiplizierst:
<=> x 4 - 13 x 2 + 36 = 0
Nun Substitution: x 2 = z
<=> z 2 - 13 z + 36 = 0
Nun entweder Lösung mit pq-Formel oder "zu Fuß" mit quadratischer Ergänzung (ich führe Letzteres vor):
<=> z 2 - 13 z = - 36
Quadratische Ergänzung bestimmen ( dazu den Koeffizienten des linearen Gliedes durch 2 dividieren und das Ergebnis quadrieren) und auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens addieren:
<=> z 2 - 13 z + 6,5 2 = - 36 + 6,5 2 = 6,25
Linke Seite mit Hilfe der zweiten binomischen Formel als Quadrat schreiben:
<=> ( z - 6,5 ) 2 = 6,25
Wurzel ziehen:
<=> z - 6,5 = +/- 2,5
<=> z = - 2,5 + 6,5 = 4 oder z = 2,5 + 6,5 = 9
Rücksubstitution z = x 2
<=> x 2 = 4 oder x 2 = 9
<=> x = - 2 oder x = 2 oder x = - 3 oder x = 3
Die insgesamt höchstens möglichen vier Lösungen sind alle verschieden und haben daher jeweils die Vielfachheit 1.
g)
f ( x ) = ( 1 / 12 ) x 4 - 4 x 2 + 36 = 0
Mit 12 multiplizieren:
<=> x 4 - 48 x 2 + 432 = 0
Substitution: x 2= z :
<=> z 2 - 48 z + 432 = 0
<=> z 2 - 48 z = - 432
<=> z 2 - 48 z + 24 2 = - 432 +24 2 = 144
<=> ( z - 24 ) 2 = 144
<=> z - 24 = +/- 12
<=> z = - 12 + 24 = 12 oder z = 12 + 24 = 36
Rücksubstitution: z = x 2
<=> x 2 = 12 oder x 2 = 36
<=> x = - √ 12 oder x = √ 12 oder x = - 6 oder x = 6
Jede Nullstelle hat die Vielfachheit 1
h)
f ( x ) = - x 4 + 3 x 2 + 4 = 0
Mit - 1 multiplizieren:
<=> x 4 - 3 x 2 - 4 = 0
Substitution x 2 = z :
<=> z 2 - 3 z - 4 = 0
pq-Formel oder quadratische Ergänzung:
<=> z 2 - 3 z = 4
<=> z 2 - 3 z + 1,5 2 = 4 + 1,5 2 = 6,25
<=> ( z - 1,5 ) 2 = 6,25
<=> z - 1,5 = +/- 2,5
<=> z = - 2,5 + 1,5 = - 1 oder z = 2,5 + 1,5 = 4
Rücksubstitution:
<=> x 2 = - 1 oder x 2 = 4
x 2 = - 1 hat keine reelle Lösung, also verbleibt nur x 2 = 4 :
<=> x = - 2 oder x = 2
Es ergeben sich also zwei Lösungen mit jeweils der Vielfachheit 1.
Für die Skizzen bedenke:
1) Die Graphen biquadratischer Funktionen wie der hier gegebenen sind immer symmetrisch zur y-Achse
2) Der y-Achsenabschnitt ist immer gleich dem absoluten Glied des Funktionsterms (das ist die Zahl in dem Funktionsterm, die keine Variable hat)
3) lässt man x gegen minus bzw. plus unendlich gehen, dann gehen die Funktionswerte gegen plus unendlich. Der Graph sieht also in der Nähe des Ursprungs etwa so aus wie der Buchstabe W mit abgerundeten Spitzen.
Als Beispiel hier der Graph zu Aufgabe f)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.25x^4-3.25x^2%2B9from-4to4
