Eine Folge ist definiert als an= (n2+1)/(n-1)-(n^2+3n-2)/(n+1)

Question

Berechnen Sie lim an n-> ∞

nun hat mein Lehrer ausgerechnet n(^2+1)(n+1)-(n^2+3n-2)(n-1)/(n-1)(n+1) wie kommt er darauf?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie kommt man auf diese Lösungen?

Stichworte: gleichungen

Eine Folge ist definiert als an= (n2+1)/(n-1)-(n2+3n-2)/(n+1)

Berechnen Sie lim an n-> ∞

Ich habe das ganze nun mit dem Lösungsweg vergleichen aber verstehe nicht wie man auf die orange makierten Ergebnisse kommt..

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\text { On }=\frac{n^{2}+1}{n-1}-\frac{n^{2}+3 n-2}{n+1} \\ =\frac{\left(n^{2}+1\right)(n+1)-\left(n^{2}+3 n-2\right)(n-1)}{(n-1)(n+1)} \\ = \\ \frac{n^{3}+n^{2}+n+1-n^{3}-n^{2}+3 n^{2}-3 n-2 n+2}{n^{2}-1} \\ =\frac{n^{3}+n^{2}+1-n^{3}-2 n^{2}+5 n-2}{n^{2}-1} \\ =\frac{-n^{2}+6 n-1}{n^{2}-1} & \left(\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)=1\end{array} \)

Answer 1

Dein Lehrer hat ausgerechnet [(n²+1)(n+1)-(n²+3n-2)(n-1)]/[(n-1)(n+1)]. Er hat nämlich die beiden Brüche auf den Hauptnenner gebracht.

Comments

das heisst wenn ich ein Bruch vom zählen in den nenner bringe wird er automatisch positiv?

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Die Frage ist mir unverständlich. Gegenfrage: Wie bringt man zwei Brüche mit unzerlegbaren Nennern auf den Hauptnenner?

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indem man den wert mal rechnet?

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Nein, indem man den  ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten erweitert und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert. Rechne mal 3/7-2/5. Dann sehen wir weiter.

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3/7-2/5= 1/35

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Etwas ausführlicher: \( \frac{3·5}{7·5} \) -\( \frac{2·7}{5·7} \) =\( \frac{15}{35} \) -\( \frac{14}{35} \).

Hier wurde der erste Bruch mit dem Nenner des zweiten erweitert und der zweite Bruch mit dem Nenner des ersten erweitert.

Mach das mal für die Büche \( \frac{n^2+1}{n-1} \) - \( \frac{n^2+3n-2}{n+1} \) .

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n'1+1-n^2+3n-2= (3n+1)/(n+1)(n-1)

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Das ist nicht lesbar, aber du hast es bereits in deiner Handschrift (oben) aufgeschrieben und die Erweiterungsfaktoren im Zähler orange markiert. Im Nenner sind sie durch eine binomische Formel ersetzt worden.

Answer 2

Diese Frage hast du gerade schon einmal gestellt und ich habe dir eine Aufgabe gestellt: 3/7-2/5. Wenn du die gelöst hast, sehen wir weiter.

Comments

ich habe es gelöst! siehe Kommentar!

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Siehe dazu meinen Kommentr zu deinem Kommentar.

Answer 3

(n^2 + 1)/(n - 1) - (n^2 + 3·n - 2)/(n + 1)

= (-n^2 + 6·n - 1)/(n^2 - 1)

= (-1 + 6/n - 1/n^2)/(1 - 1/n^2)

lim n --> ∞

= (-1 + 0 - 0)/(1 - 0)

= - 1

Answer 4

Aloha :)

$$a_n=\frac{n^2+1}{n-1}-\frac{n^2+3n-2}{n+1}=\frac{n^2-n+n+1}{n-1}-\frac{n^2+n+2n-2}{n+1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^2-n}{n-1}+\frac{n+1}{n-1}-\frac{n^2+n}{n+1}-\frac{2n-2}{n+1}=n+\frac{n+1}{n-1}-n-\frac{2(n-1)}{n+1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n+1}{n-1}-\frac{2(n-1)}{n+1}=\frac{(n+1)^2-2(n-1)^2}{(n-1)(n+1)}$$$$\phantom{a_n}=\frac{n^2+2n+1-2(n^2-2n+1)}{n^2-1}$$$$\phantom{a_n}=\frac{-n^2+6n-1}{n^2-1}=\frac{-1+\frac{6}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}\to-1$$