Finden Sie globales Optimum.

Question

Aufgabe:

Die Funktion

f(x1,x2)=−3x21+2x1x2−5x22+30x1+46x2−16
besitzt ein globales Optimum an der Stelle a. Finden Sie dieses Optimum. Ist es ein Maximum oder ein Minimum?


a. a=(7,6)⊤, Minimum


b. a=(7,6)⊤, Maximum


c. a=(8,5)⊤, Maximum


d. a=(8,5)⊤, Minimum


e. a=(−8,−5)⊤, Minimum

Problem/Ansatz:

Kann man das 'vereinfacht' auch im TI-nspire CX CAS berechnen?

Oder sonst auf einer Internetseite? 
Ich wäre um jede Hilfe wahnsinnig dankbar!!!

Answer 1

Hallo,

ich unterstelle mal, die Funktion heißt$$f(x_1,x_2)=−3x_1^2+2x_1x_2−5x_2^2+30x_1+46x_2−16$$um ein (zunächst mal) lokales Extremum zu bestimmen, leite nach beiden Variablen ab und setze die Ableitungen zu 0:$$\frac{\partial f}{\partial x_1} = -6x_1 + 2x_2 +30 = 0\\ \frac{\partial f}{\partial x_2} = 2x_1 - 10x_2 + 46 = 0$$dies ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten und der Lösung \(x_1=7\) und \(x_2=6\). Ein Maximum liegt vor, wenn die 2.Ableitung nach \(x_1\) bzw. \(x_2\) kleiner 0 ist. Es ist$$\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_1} = -6 \lt 0, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_2} = -10 \lt 0$$da es das einzige Maximum ist und die höchste Potenz nur 2 und weiter die Koeffizenten mit den höchsten Potenzen beide negativ sind, kannst Du davon ausgehen, dass es auch ein globales Maximum ist. Ähnlich wie eine nach unten offene Parabel im 2-dimensionalen.

Wenn man sich die Funktion ansieht, wird das klarer:

Kann man das 'vereinfacht' auch im TI-nspire CX CAS berechnen?
Oder sonst auf einer Internetseite?

Weiß ich nicht! Ansonsten gilt wie immer: "(Selber) denken ist wie googeln; nur krasser!" ;-)

Gruß Werner