Aloha :)
Zu zeigen: \(\quad\frac{n^3-n+18}{6}\in\mathbb Z\quad\text{ für alle }n\in\mathbb N\)
Verankerung bei \(n=0\):$$\frac{0^3-0+18}{6}=\frac{18}{6}=3\in\mathbb Z\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$\frac{(n+1)^3-(n+1)+18}{6}=\frac{n^3+3n^2+3n+1-n-1+18}{6}$$$$=\frac{n^3-n+18}{6}+\frac{3n^2+3n}{6}=\frac{n^3-n+18}{6}+\frac{n^2+n}{2}$$$$=\underbrace{\frac{n^3-n+18}{6}}_{\in\mathbb Z}+\underbrace{\frac{n(n+1)}{2}}_{\in\mathbb Z}\in\mathbb Z\quad\checkmark$$Der erste Bruch ist nach Induktionsvoraussetzung eine ganze Zahl. Der zweite Bruch ist eine ganze Zahl, weil entweder \(n\) oder \((n+1)\) eine gerade Zahl ist, sodass das Produkt durch \(2\) teilbar ist. Die Summe aus zwei ganzen Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.
