Rektifizierbarkeit einer Kurve untersuchen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve f: [0,1]→ℝ mit f(t)= ( t⁴ , \( \sqrt{t} \) * cos (π/t²) ) falls t∈(0,1] und f(t) = (0,0) falls t=0.

Es soll überprüft werden, ob die Kurve rektifizierbar ist.

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich das angehen soll.

Über Hilfe würde ich mich freuen.

Answer 1

Hallo,

zeichne dir mal die Kurve mit wolfram:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3Dt%5E4%2C+y%3Dsqrt%28t%29*cos%28pi%2Ft%5E2%29%2C+0.001%3Ct%3C1

Vermutung: sie ist nicht rektifizierbar, da sie im Bereich um (0,0) immer herumoszilliert.

Um das nachzuweisen müsstest du die Definition der Rektifizierbarkeit nehmen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Weg_(Mathematik)#Rektifizierbare_Wege

Tipp: wähle als Stützstellen die Minima und Maxima der Kurven

Comments

Und wie komme ich auf die Minima und Maxima? Es sind ja mehrere, wie kann ich das da am besten angeben?

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Die Minima und Maxima ergeben sich, wenn pi/t^2 =k*pi gilt.

Also nach t umgestellt:

t=1/sqrt(k)

Die Stützstellen lauten somit

t_{k}=1/sqrt(k)

k geht von 1 bis ∞

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Die Minima und Maxima ergeben sich, wenn pi/t^{2} =k*pi gilt. 

Das widerspricht allen grundlegenden Regeln.

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Stimmt, das sind gar nicht die Minima und Maxima der Kurven.

Ich denke t_k= 1/sqrt(k) bieten sich trotzdem als Stützstellen an, dann verschwinden die Cosinusterme in der weiteren Rechnung.